Considere A e C invertiveis tais que:
![A^{-1}= \left[\begin{array}{ccc}-2&3&-1\\1&-3&1\\-1&2&-1\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%20A%5E%7B-1%7D%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-2%263%26-1%5C%5C1%26-3%261%5C%5C-1%262%26-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20 "A^{-1}= \left[\begin{array}{ccc}-2&3&-1\\1&-3&1\\-1&2&-1\end{array}\right]")
![C^{-1}= \left[\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&1&-1\\0&0&-1\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%20C%5E%7B-1%7D%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%260%262%5C%5C0%261%26-1%5C%5C0%260%26-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20 "C^{-1}= \left[\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&1&-1\\0&0&-1\end{array}\right]")
a) O sistema linear homogêneo AX= matriz nula, onde,![X= \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Dx%5C%5Cy%5C%5Cz%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20 "X= \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]")
e matriz nula=![X= \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\\\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D0%5C%5C0%5C%5C0%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20 "X= \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\\\end{array}\right]")
, possui soluçao única (trivial) ou infinitas soluções? Justifique sua resposta.
b) Resolva o sistema linear (AC)X=B, onde e ![= \left[\begin{array}{ccc}-1\\0\\2\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-1%5C%5C0%5C%5C2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20 "= \left[\begin{array}{ccc}-1\\0\\2\end{array}\right]")
a) O sistema linear homogêneo AX= matriz nula, onde,
b) Resolva o sistema linear (AC)X=B, onde
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Vamos lá.Dani, embora as questões sejam mais ou menos fáceis, mas vai dar um "trabalhão", pois se trata de matrizes de ordem 3.
i) Temos: considere as matrizes A e C invertíveis tal que:
..........|-2....3....-1|
A⁻¹ = |1....-3......1|
..........|-1...2....-1|
..........|1.....0....2|
C⁻¹ = |0.....1....-1|
.........|0.....0....-1|
Agora chamaremos a matriz A como sendo: na primeira linha teremos: "a","b", "c"; na segunda linha teremos: "d", "e", "f"; e na terceira linha teremos: "g", "h", "i". Assim, multiplicaremos a matriz matriz A⁻¹ pela matriz A e igualaremos à matriz identidade correspondente (de ordem 3). Assim teremos:
..........|-2....3....-1|*|a.....b.....c| = |1.....0.....0|
.........|1....-3......1|*|d.....e......f| = |0.....1.....0|
.........|-1....2.....-1|*|g.....h......i| = |0.....0.....1| ---- para ganhar espaço (e tempo) vamos efetuar a multiplicação das duas matrizes e já colocando as igualdades correspondentes, ficando assim:
-2a+3d-g = 1 . (I) ; -2b+3e-h = 0 . (II) ; -2c+3f-i = 0 . (III)
a-3d+g = 0 . (IV) ; b-3e+h = 1 . (V) ; c-3f+i = 0 . (VI)
-a+2d-g = 0 (VII) ; -b+2e-h = 0 . (VIII) ; -c+2f-i = 1 . (IX)
Agora veja: ao somarmos a expressão (I) com a expressão (IV), membro a membro, encontraremos que: a = -1. Depois, ao substituirmos o "a" por "-1" nas expressões (I) e (VII) e somarmos membro a membro, encontraremos que: d = 0. Após isso, ao substituirmos "a" por "-1" e "d" por "0" em quaisquer uma das expressões que contêm as incógnitas "a", "d" e "g", vamos encontrar que: g = 1.
Fazendo algo parecido com as expressões (II), (V) e (VIII), vamos encontrar que: b = -1; e = -1 ; h = -1.
E, finalmente, fazendo algo semelhante com as expressões (III), (VI) e (IX), vamos encontrar que: c = 0; f = -1; i = -3.
Assim, a matriz A, constituída por: primeira linha: "a", "b", "c"; segunda linha: "d", "e", "f"; e terceira linha: "g", "h", "i", será esta:
.......|-1.....-1.....0|
A = |0......-1....-1|
......|1......-1....-3|
ii) Agora vamos responder a questão do item "a", que é esta:
a) O sistema homogêneo AX = matriz nula, informe se o sistema possui uma única solução (trivial) ou tem infinitas soluções. Assim, teremos:
.......|-1.....-1.....0|*| x | = | 0 |
........|0......-1....-1|*| y | = | 0 |
.......|1......-1....-3|* | z | = | 0 | ---- efetuando-se o produto indicado entre as duas matrizes, vamos ter exatamente isto:
-1x - 1y + 0z = 0 ----- ou apenas: -x - y = 0 . (X)
0x - 1y - 1z = 0 ------ ou apenas: -y - z = 0 . (XI)
1x - 1y - 3z = 0 ------ ou apenas: x - y - 3z = 0 . (XII)
Agora veja: vamos tomar a expressão (X) e vamos encontrar o valor de "x".
A expressão (X) é esta:
- x - y = 0 ----- isolando "x", teremos:
- x = y --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficamos com:
x = - y . (XIII)
E se formos na expressão (XI), teremos isto:
- y - z = 0 ----- isolando "y", teremos;
- y = z --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
y = - z . (XIV)
Agora vamos na expressão (XII) e, nela, substituiremos "x" por "-y". A expressão (XII) é esta:
x - y - 3z = 0 ---- substituindo-se "x" por "-y" , teremos:
-y - y - 3z = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
-2y - 3z = 0 --- para facilitar, poderemos multiplicar ambos os membros por "-1", ficando:
2y + 3z = 0 . (XV)
Mas vimos que, conforme a expressão (XIV), temos que: y = -z. Assim, substituindo na expressão (XV) acima, teremos:
2*(-z) + 3z = 0
- 2z + 3z = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficamos;
z = 0 <--- Este é o valor de "z".
Se z = 0, então vamos na expressão (XIV), que é esta:
y = - z --- substituindo-se "z" por "0", teremos;
y = - 0 ---- ou apenas:
y = 0
E, finalmente, se z = 0 e y = 0, e considerando que, conforme a expressão (XIII), temos que:
x = - y ---- substituindo-se "y" por "0", teremos;
x = - 0 --- ou apenas:
x = 0.
Assim, como você viu, temos
Finalmente, como x = 0; y = 0; e z = 0, então teremos que o sistema dado só tem uma única solução (que é a solução trivial), e que é esta:
x = 0; y = 0; z = 0 <--- Esta é a resposta para o item "a".
Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x; y; z} da seguinte forma, o que dá no mesmo:
S = {0; 0; 0}.
Agora veja, Dani: já saímos da nossa característica (que era fazer tudo passo a passo) para podermos economizar espaço e, assim, a resposta poder ser encaminhada sem nenhum problema. Note que em vez de construirmos a matriz A só fizemos informar como ela estaria escrita. Depois, ao fazermos as multiplicações de A*A⁻¹, em vez de colocarmos isso numa matriz, também só dissemos o que foi feito e já concluímos que os valores de cada elemento da matriz A seriam aqueles que demos e com os quais construímos a matriz A. E ela deveria ser mesmo construída pois teríamos que responder a questão do item "a", que é o que acabamos de fazer.
Dessa forma, para construir a matriz C iríamos ter esse mesmo trabalho e, com certeza, o espaço não iria ser suficiente. Então, depois você recoloca a questão e só responderemos ao item "b" da sua questão, ok?
É isso aí.
OK?
Adjemir.