Convergência. Se X espaço, toda sequência convergente em X converge para um único limite?.... Pergunta de ideia deSonicx2012

Sonicx2012 @Sonicx2012

November 2019 2 160 Report

Convergência.

Se X espaço, toda sequência convergente em X
converge para um único limite?

Frisk135 Nem sempre. No caso que X é um espaço de Hausdorff, ok.
Dada qualquer sequência convergente num espaço de Hausdorff o limite é único, como exemplo os espaços métricos.

No caso X não Hausdorff, tome como exemplo a família de conjuntos A={K: K= {(x, y) ∈ R^2 , com a < y < b para − ∞ < a < b < ∞}}. A topologia gerada por A não é Hausdorff. A sequência da forma $x_{n}=(0, \frac{1}{n})$ ) converge para todo ponto da forma (x,0), com x em R. Se fosse na topologia usual de R^2, esse limite seria único (0,0), mas como a topologia do espaço não é Hausdorff, ocorre infinitos limites.

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Frisk135 Afirmativo.!! Em espaço métrico tudo funciona feito uma maravilha. Fora disso, coisas bizarras ocorrem nesse sentido.

Esfinge2012 Em geral não é verdade. Para espaços métricos sim. Sempre é possivel obter vizinhanças disjuntas(isso é ser Hausdorff.)

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