A demonstração segue os seguintes passos: mostrar que d | m e d | n, depois que m/d e n/d são inteiros, depois que se x | m e x | n então x | m/d e x | n/d, depois que mdc(m/d, n/d) é um divisor comum de m/d e n/d e, portanto, é um divisor comum de m e n; depois que mdc(m/d, n/d) é o maior divisor comum de m/d e n/d e, portanto, é o maior divisor comum de m e n, concluindo que mdc(m/d, n/d) = d, e como d | m e d | n, então d = mdc(m, n).

Como realizar cálculos com a Teoria dos Números ?

• Passo 1: Como d = mdc(m, n), então d é o maior divisor comum de m e n. Isso significa que d | m e d | n.

• Passo 2: Como d | m e d | n, então m = dk e n = dl para algum inteiro k e l. Então m/d = k e n/d = l, o que significa que m/d e n/d são inteiros.

• Passo 3: Sejam x um divisor comum de m e n. Então x | m e x | n. Como m = dk e n = dl, então x | dk e x | dl. Dividindo ambas as desigualdades por d, temos x | k e x | l. Isso significa que x é um divisor comum de k e l, ou seja, x | m/d e x | n/d.

• Passo 4: Como mdc(m/d, n/d) é um divisor comum de m/d e n/d, então mdc(m/d, n/d) é um divisor comum de m e n.

• Passo 5: Como mdc(m/d, n/d) é o maior divisor comum de m/d e n/d, então mdc(m/d, n/d) é o maior divisor comum de m e n.

• Passo 6: Como d = mdc(m, n) e mdc(m/d, n/d) = o maior divisor comum de m e n, então d = mdc(m/d, n/d). Como d | m e d | n, então d = mdc(m, n).

Conclusão: Como d = mdc(m, n) = mdc(m/d, n/d), então mdc(m/d, n/d) = 1.

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#SPJ1

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Olá!

Resposta:

Passo 1: Começamos supondo que d = mdc(m, n). Isso significa que d é o maior divisor comum de m e n.

Passo 2: Como d é um divisor comum de m e n, isso significa que d divide m e n sem deixar resto. Logo, podemos escrever m = da e n = db, onde a e b são inteiros.

Passo 3: Agora dividimos m e n por d, ou seja, m/d = a e n/d = b.

Passo 4: Para mostrar que mdc(m/d, n/d) = 1, precisamos mostrar que não existe nenhum outro número natural que divida a e b sem deixar resto.

Passo 5: Suponha que h > 1 é um divisor comum de a e b. Isso significa que h divide a e b sem deixar resto. Logo, podemos escrever a = hc e b = hd, onde c e d são inteiros.

Passo 6: Como h > 1, isso significa que h é maior do que 1. No entanto, h é também um divisor comum de m e n, o que significa que h divide m e n sem deixar resto. Isso é uma contradição, já que m = da e n = db, e d é o maior divisor comum de m e n. Portanto, h > 1 não pode ser um divisor comum de a e b.

Passo 6.1: Como h divide a e b sem resto, e a e b são fatores de m e n, respectivamente, então h também divide m e n sem resto, o que é uma contradição com o fato de d ser o MDC(m,n)

Passo 7: Como não existe nenhum outro número natural que divida a e b sem deixar resto, isso significa que mdc(m/d, n/d) = 1.

Passo 8: Conclusão: Mostramos que se d = mdc(m, n), então mdc(m/d, n/d) = 1.

Espero ter ajudado!

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