Veja, Dani, que a resolução é simples, embora um pouquinho trabalhosa. Veja que um polinômio do segundo graué aquela da forma:
f(x) = ax² + bx + c
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Se f(1) = f(-2) = 9 e f(-1) = 1, então teremos isto:
f(1)= 9 f(-2) = 9 f(-1) = 1
i.a) Para f(1) = 9, iremos na função f(x) = ax² + bx + c e substituiremos o "x" por "1" e o f(x) por 9, ficando:
9 = a*1² + b*1 + c 9 = a*1 + b*1 + c 9 = a + b + c ---- ou, o que é a mesma coisa: a + b + c = 9 . (I)
i.b) Para f(-2) faremos a mesma coisa, ou seja: iremos em f(x) = ax²+bx+c e substituiremos o "x" por "-2" e o f(x) por 9, ficando:
9 = a*(-2)² + b*(-2) + c 9 = a*4 + b*(-2) + c 9 = 4a - 2b + c ---- ou, o que é a mesma coisa: 4a - 2b + c = 9 . (II).
i.c) Finalmente, para f(-1) = 1, iremos em f(x) = ax²+bx+c e substituiremos o "x" por "-1" e o f(x) por 1, ficando:
1 = a*(-1)² + b*(-1) + c 1 = a*1 + b*(-1) + c 1 = a - b + c ---- ou, o que é a mesma coisa; a - b + c = 1 . (III).
ii) Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I), (II) e (III) e que são estas:
a + b + c = 9 . (I) 4a - 2b + c = 9 . (II) a - b + c = 1 . (III)
ii.a) Faremos o seguinte: somaremos, membro a membro, as expressões (I) e (III), ficando assim:
a + b + c = 9 --- [esta é a expressão (I) normal] a - b + c = 1 --- [esta é a expressão (III) normal] ------------------------- somando-se membro a membro, teremos: 2a+0+2c = 10 --- ou apenas: 2a + 2c = 10 --- para facilitar, dividiremos os dois membros pro "2", ficando: a + c = 5 . (IV)
ii.b) Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (I) por "2" e, em seguida, somaremos membro a membro com a expressão (II). Assim teremos:
2a + 2b + 2c = 18 ---- [esta é a expressão (I) multiplicada por "2"] 4a - 2b + c = 9 ------ [esta é a expressão (II) normal] --------------------------------- somando membro a membro, teremos: 6a + 0 + 3c = 27 --- ou apenas: 6a + 3c = 27 ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "3", com o que ficaremos assim:
2a + c = 9 . (V)
iii) Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (IV) e (V) e que são estas:
a + c = 5 . (IV) 2a + c = 9 . (V)
iii.a) Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (IV) por "-1" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (V). Assim:
-a - c = - 5 --- [esta é a expressão (IV) multiplicada por "-1"] 2a+c = 9 ----- [esta é a expressão (V) normal] ------------------- somando membro a membro, teremos: a+0 = 4 ----ou, o que é a mesma coisa: a = 4 <--- Este será o valor do termo "a" da função f(x) = ax²+bx+c.
iii.b) Agora, para encontrar o valor do termo "c" iremos ou na expressão (IV) ou na expressão (V). Vamos na expressão (IV), que é esta:
a + c = 5 ----- substituindo-se "a" por "4", conforme encontramos acima, temos:
4 + c = 5 c = 5-4 c = 1 <--- Este é o valor do termo "c" da função f(x) = ax²+bx+c.
iii.c) Agora vamos em uma das primeiras expressões [ou na (I), ou na (II), ou na (III)] e, em, quaisquer uma delas, substituiremos os valores de "a" por "4" e de "c" por "1" e encontramos o valor do termo "b". Vamos na expressão (I), que é esta:
a + b + c = 9 ---- substituindo-se "a" por "4" e "c" por "1", teremos: 4 + b + 1 = 9 --- reduzindo os termos semelhantes no 1º membro: b + 5 = 9 b = 9 - 5 b = 4 <--- Este é o valor do termo "b" da função f(x) = ax²+bx+c.
iv) Assim, o polinômio do segundo grau f(x) = ax²+bx+c será este, após substituirmos "a" por "4"; substituirmos "b" também por "4" e substituirmos "c" por "1":
f(x) = ax² + bx + c ----- fazendo-se as devidas substituições, temos: f(x) = 4*x² + 4*x + 1 --- ou apenas: f(x) = 4x² + 4x + 1 <--- Esta é a resposta. Este é o polinômio do 2º grau procurado.
É isso aí. Deu pra entender bem?
OK? Adjemir.
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Dani76561
Sim, tudo bem! Muito obrigada!!! Desculpa por qualquer coisa.
Lista de comentários
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Vamos lá:Colocando as equações destacadas em um sistema:
Utilizando a equação 3, temos:
Substituindo a equação encontrada na equação 1, temos:
Substituindo b por 4 na equação a = 1 + b - c, temos:
Substituindo a equação encontrada na equação 2, temos:
Substituindo c por 1 na equação a = 5 - c, temos:
A equação que procuras é
Espero ter ajudado.
Veja, Dani, que a resolução é simples, embora um pouquinho trabalhosa.
Veja que um polinômio do segundo graué aquela da forma:
f(x) = ax² + bx + c
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Se f(1) = f(-2) = 9 e f(-1) = 1, então teremos isto:
f(1)= 9
f(-2) = 9
f(-1) = 1
i.a) Para f(1) = 9, iremos na função f(x) = ax² + bx + c e substituiremos o "x" por "1" e o f(x) por 9, ficando:
9 = a*1² + b*1 + c
9 = a*1 + b*1 + c
9 = a + b + c ---- ou, o que é a mesma coisa:
a + b + c = 9 . (I)
i.b) Para f(-2) faremos a mesma coisa, ou seja: iremos em f(x) = ax²+bx+c e substituiremos o "x" por "-2" e o f(x) por 9, ficando:
9 = a*(-2)² + b*(-2) + c
9 = a*4 + b*(-2) + c
9 = 4a - 2b + c ---- ou, o que é a mesma coisa:
4a - 2b + c = 9 . (II).
i.c) Finalmente, para f(-1) = 1, iremos em f(x) = ax²+bx+c e substituiremos o "x" por "-1" e o f(x) por 1, ficando:
1 = a*(-1)² + b*(-1) + c
1 = a*1 + b*(-1) + c
1 = a - b + c ---- ou, o que é a mesma coisa;
a - b + c = 1 . (III).
ii) Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I), (II) e (III) e que são estas:
a + b + c = 9 . (I)
4a - 2b + c = 9 . (II)
a - b + c = 1 . (III)
ii.a) Faremos o seguinte: somaremos, membro a membro, as expressões (I) e (III), ficando assim:
a + b + c = 9 --- [esta é a expressão (I) normal]
a - b + c = 1 --- [esta é a expressão (III) normal]
------------------------- somando-se membro a membro, teremos:
2a+0+2c = 10 --- ou apenas:
2a + 2c = 10 --- para facilitar, dividiremos os dois membros pro "2", ficando:
a + c = 5 . (IV)
ii.b) Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (I) por "2" e, em seguida, somaremos membro a membro com a expressão (II). Assim teremos:
2a + 2b + 2c = 18 ---- [esta é a expressão (I) multiplicada por "2"]
4a - 2b + c = 9 ------ [esta é a expressão (II) normal]
--------------------------------- somando membro a membro, teremos:
6a + 0 + 3c = 27 --- ou apenas:
6a + 3c = 27 ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "3", com o que ficaremos assim:
2a + c = 9 . (V)
iii) Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (IV) e (V) e que são estas:
a + c = 5 . (IV)
2a + c = 9 . (V)
iii.a) Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (IV) por "-1" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (V). Assim:
-a - c = - 5 --- [esta é a expressão (IV) multiplicada por "-1"]
2a+c = 9 ----- [esta é a expressão (V) normal]
------------------- somando membro a membro, teremos:
a+0 = 4 ----ou, o que é a mesma coisa:
a = 4 <--- Este será o valor do termo "a" da função f(x) = ax²+bx+c.
iii.b) Agora, para encontrar o valor do termo "c" iremos ou na expressão (IV) ou na expressão (V). Vamos na expressão (IV), que é esta:
a + c = 5 ----- substituindo-se "a" por "4", conforme encontramos acima, temos:
4 + c = 5
c = 5-4
c = 1 <--- Este é o valor do termo "c" da função f(x) = ax²+bx+c.
iii.c) Agora vamos em uma das primeiras expressões [ou na (I), ou na (II), ou na (III)] e, em, quaisquer uma delas, substituiremos os valores de "a" por "4" e de "c" por "1" e encontramos o valor do termo "b".
Vamos na expressão (I), que é esta:
a + b + c = 9 ---- substituindo-se "a" por "4" e "c" por "1", teremos:
4 + b + 1 = 9 --- reduzindo os termos semelhantes no 1º membro:
b + 5 = 9
b = 9 - 5
b = 4 <--- Este é o valor do termo "b" da função f(x) = ax²+bx+c.
iv) Assim, o polinômio do segundo grau f(x) = ax²+bx+c será este, após substituirmos "a" por "4"; substituirmos "b" também por "4" e substituirmos "c" por "1":
f(x) = ax² + bx + c ----- fazendo-se as devidas substituições, temos:
f(x) = 4*x² + 4*x + 1 --- ou apenas:
f(x) = 4x² + 4x + 1 <--- Esta é a resposta. Este é o polinômio do 2º grau procurado.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.