Resposta:

∫e^(x) * cos(x)  dx

Fazendo por partes

u = cos(x)  ==>du=-sen(x) dx

e^(x) dx = dv  ==> ∫ e^(x) dx = ∫dv   =e^(x) =v

∫e^(x) * cos(x)  dx = cos(x)*e^(x) - ∫ e^(x) *( -sen(x) dx)

∫e^(x) * cos(x)  dx = cos(x)*e^(x) + ∫ e^(x) *sen(x) dx    (i)

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∫ e^(x) *sen(x) dx

Fazendo por partes

u= sen(x)  ==> du=cos(x) dx

e^(x) dx = dv  ==> ∫ e^(x) dx = ∫dv   =e^(x) =v

∫ e^(x) *sen(x) dx  = sen(x) * e^(x) - ∫e^(x) * cos(x) dx    (ii)

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(ii) em (i)

∫e^(x) * cos(x)  dx = cos(x)*e^(x) +sen(x) * e^(x) - ∫e^(x) * cos(x) dx

2*∫e^(x) * cos(x)  dx = cos(x)*e^(x) +sen(x) * e^(x)

∫e^(x) * cos(x)  dx =(1/2) * [cos(x)*e^(x) +sen(x) * e^(x) ]  

A1 =  |  de -π/4 a 0 [(1/2) * [cos(x)*e^(x) +sen(x) * e^(x) ]] |

A2 =  |  de 0 a 3π/4 [(1/2) * [cos(x)*e^(x) +sen(x) * e^(x) ]] |

Resultado = A1 + A2