Veja, Dani, que a resolução é aparentemente fácil. São pedidas todas as raízes da função do 3º grau abaixo:
x³ + 2x - 1 = 0
Agora veja isto e não esqueça mais: quando você tem uma equação de grau superior a "2", antes de qualquer coisa você verifica se uma das raízes poderá ser igual ao termo independente ou divisor ou múltiplo dele (no caso da sua questão, o termo independente será termo "d", que é o coeficiente do termo independente em equações do 3º grau, pois a sua forma é esta: ax³+bx²+cx+d = 0). Verificando, vemos que uma das raízes é x = - 1 (exatamente igual ao termo "d"), pois se você substituir "x" por "-1" vai zerar a equação (lembre-se: toda raiz zera a equação da qual ela é raiz). Ora, se "-1" é uma das raízes, então vamos dividir a equação acima por: d(x) = x -(-1) ---> d(x) = x+1. Efetuando a divisão de x³+2x²+0x- 1 por d(x) = x+1, teremos:
x³ + 2x² + 0x - 1 |_x+1_ <-- divisor ........................... x² + x - 1 <--- quociente -x³-x² ----------------------- 0+ x² + 0x - 1 ..- x² - x ----------------------- ...0 - x - 1 .....+x + 1 ----------------------- .......0...0 <--- Resto. Veja que teria que dá zero mesmo, pois "-1" é raiz e, assim, x³+2x²-1 é divisível por (x+1).
Agora veja que ficamos com o quociente: x²+x-1. Então vamos igualá-lo a zero para encontrar as outras duas raízes. Assim:
x² + x - 1 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes;
x' = (-1-√5)/2 x'' = (-1+√5)/2
Assim, todas as três raízes serão estas:
x' = - 1 x'' = (-1-√5)/2 x''' = (-1+√5)/2
Veja: quando não encontrarmos uma das raízes com tanta facilidade como encontramos nesta questão, então para saber todas as raízes você teria que aplicar as relações de Girard, que dizem isto: numa equação do 3º grau, da forma ax³ + bx² + cx + d = 0, com raízes iguais a x', x''e x''' , suas raízes serão encontradas assim (o que dá um bom trabalho):
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Vamos lá.Veja, Dani, que a resolução é aparentemente fácil.
São pedidas todas as raízes da função do 3º grau abaixo:
x³ + 2x - 1 = 0
Agora veja isto e não esqueça mais: quando você tem uma equação de grau superior a "2", antes de qualquer coisa você verifica se uma das raízes poderá ser igual ao termo independente ou divisor ou múltiplo dele (no caso da sua questão, o termo independente será termo "d", que é o coeficiente do termo independente em equações do 3º grau, pois a sua forma é esta: ax³+bx²+cx+d = 0).
Verificando, vemos que uma das raízes é x = - 1 (exatamente igual ao termo "d"), pois se você substituir "x" por "-1" vai zerar a equação (lembre-se: toda raiz zera a equação da qual ela é raiz).
Ora, se "-1" é uma das raízes, então vamos dividir a equação acima por:
d(x) = x -(-1) ---> d(x) = x+1.
Efetuando a divisão de x³+2x²+0x- 1 por d(x) = x+1, teremos:
x³ + 2x² + 0x - 1 |_x+1_ <-- divisor
........................... x² + x - 1 <--- quociente
-x³-x²
-----------------------
0+ x² + 0x - 1
..- x² - x
-----------------------
...0 - x - 1
.....+x + 1
-----------------------
.......0...0 <--- Resto. Veja que teria que dá zero mesmo, pois "-1" é raiz e, assim, x³+2x²-1 é divisível por (x+1).
Agora veja que ficamos com o quociente: x²+x-1. Então vamos igualá-lo a zero para encontrar as outras duas raízes. Assim:
x² + x - 1 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes;
x' = (-1-√5)/2
x'' = (-1+√5)/2
Assim, todas as três raízes serão estas:
x' = - 1
x'' = (-1-√5)/2
x''' = (-1+√5)/2
Veja: quando não encontrarmos uma das raízes com tanta facilidade como encontramos nesta questão, então para saber todas as raízes você teria que aplicar as relações de Girard, que dizem isto: numa equação do 3º grau, da forma ax³ + bx² + cx + d = 0, com raízes iguais a x', x''e x''' , suas raízes serão encontradas assim (o que dá um bom trabalho):
x' + x'' + x''' = -b/a
x'*x'' + x'*x''' + x''*x''' = c/a
x'*x''*x''' = -d/a
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.