Resposta:

A série é condicionalmente divergente.

Resolução:

Em uma primeira análise, para determinar se a série é convergente ou divergente, aplicamos o Teste da Série Alternada:

"A série [tex]\[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^na_n\][/tex] converge quando as seguintes duas condições são satisfeitas:

i. [tex]\lim_{n \to \infty} a_n = 0[/tex] e

ii. [tex]|a_{n+1}| \leq |a_n|[/tex]."

No caso, temos

i. [tex]log_ne = \dfrac{ln\text{ }e}{ln\text{ }n} = \dfrac{1}{ln\text{ }n} \rightarrow 0[/tex], e

ii.[tex]ln\left(n+1\right) > ln\text{ }n \implies \dfrac{1}{ln\left(n+1\right)} \leq \dfrac{1}{ln\text{ }n}[/tex].

Logo, [tex]\[ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n log_ne\][/tex] é convergente. Entretanto,

[tex]ln\text{ }n < n \implies log_ne = \dfrac{1}{ln\text{ }n} > \dfrac{1}{n}\\\\\\\implies \[ \sum_{n=2}^{\infty} log_ne > \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n}\][/tex].

É bem sabido que a série harmônica diverge. Logo, [tex]\[ \sum_{n=2}^{\infty} log_ne\][/tex] diverge, então [tex]\[ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n log_ne\][/tex] é condicionalmente convergente.