Utilizando nossos conhecimentos sobre Limite de Funções com Duas Variáveis, concluímos que as afirmações corretas são a I, II e II, logo Alternativa 5

Limite de Funções com Duas Variáveis

Limite é uma das bases fundadoras do Cálculo. O principal objetivo do cálculo de limites é estudar como determinada função se comporta quando aproxima-se de determinado valor.

Quando estamos lidando com o cálculo de limite para duas variáveis, podemos resolvê-lo através da substituição simples dos valores de limite nas variáveis ou através de manipulações algébricas.

No entanto, se nos aproximarmos do limite indicado por diferentes caminhos e o valor do limite der diferente, logo aquele limite não existe.

Utilizando as afirmações do problema como exemplo:

I - Dada a função:

[tex]g(x,y) = \frac{x+y}{x-y}[/tex]

Estudamos a existência do limite no ponto (0,0) inicialmente por dois caminhos:

• (0,y)
• (x,0)

Para (0,y), temos:

[tex]g(0,y) = \frac{0+y}{0-y}= -1[/tex]

Limite de g(x,y) tendendo a 0,0 no caminho (0,y) é -1

Para (x,0), temos:

[tex]g(0,y) = \frac{x+0}{x-0}= 1[/tex]

Limite de g(x,y) tendendo a 0,0 no caminho (x,0) é 1

Como os limites deram diferentes, logo o limite não existe e a afirmação está correta.

II - Dado o limite:

[tex]\lim_{(x,y) \to \(1,1)}\frac{x^2-y^2}{x-y}[/tex]

Podemos enxergar x²-y² como o quadrado das diferenças, cujo produto notável é (x+y)(x-y). Substituindo:

[tex]\lim_{(x,y) \to \(1,1)}\frac{(x+y)\times(x-y)}{x-y}=x+y=2[/tex]

Logo a afirmação está correta, pois o limite da função no ponto (1,1) é igual a 2

III - Dado a função:

[tex]h(x,y) = \frac{x^2}{x^2-y}[/tex]

Estudamos a existência do limite no ponto (0,0) por dois caminhos:

• (0,y)
• (x,0)

Substituindo para o caminho (0,y):

[tex]h(x,y) = \frac{0}{-y} = 0[/tex]

Logo o limite no ponto (0,0) da função pelo caminho (0,y) será igual a 0

Substituindo para o caminho (x,0):

[tex]h(x,y) = \frac{x^2}{x^2-0} = 1[/tex]

Logo o limite no ponto (0,0) da função pelo caminho (x,0) será igual a 1

Como os limites deram diferentes, logo o limite não existe e a afirmação está correta.

Concluímos então que as 3 afirmações estão corretas, logo a Alternativa 5 é a exata.

Para saber mais sobre Limite de Funções de Duas Variáveis: https://brainly.com.br/tarefa/11967720

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