Através dos calculos realizados podemos concluir que a alternativa correta, referente as afirmações, é a primeira V , V , V , V.

Estamos diante do conceito de grupo, um grupo é um conjunto associado a uma operação. Para determinarmos se temos um grupo ou não tevemos verificar se ele satisfaz três axiomas: a associatividade , elemento neutro e simétrico(em alguns casos satisfaz a comutatividade, e quando isso ocorre esse grupo é chamado de abeliano).

• Associatividade

∃ x , y , z ∈ Z, tal que (x * y) * z = x * (y * z)

Tomando (x * y) * z e desenvolvendo:

(x * y) * z

= (x + y + 2) * z

= (x + y + 2) + z + 2

= x + y + 2 + z + 2

= x + (y + z + 2) + 2

= x * (y * z)    

Logo é valida a associatividade !!!

• Elemento Neutro

∃ e ∈ Z, tal que x * e = e * x = x

x * e = x

(x + e + 2)  = x

e = - 2

• Simétrico

∃ x,x' ∈ Z, tal que x * x' = x' * x = e

x * x' = e

x + x' + 2 = - 2

x' = - 2 - 2 - x

x' = - 4 - x

x' = - (4 + x)

• Comutatividade

∃ x,y ∈ Z, tal que x * y = y * x

x * y

= x + y + 2

= y + x + 2

= y * x

O grupo é abeliano !!!

• Analisando as afirmações

(I) Sim, foi verificado acima.

(II) Sim, também foi verificado acima.

(III) Vejamos abaixo:

  x' = - (4 + x)

  x' = - (4 + 3)

  x' = - 7

Sim, o simétrico de 3 nessa operação é o - 7!

(IV) Sim, a operação é associativa.

A afirmativa correta é a primeira, pois todas as afirmativas são verdadeiras !

Mais sobre o assunto em:

brainly.com.br/tarefa/7191884