Usando a Fórmula de determinar a equação do segundo grau usando as coordenadas do Vértice, obtém-se :

a)  a = - 1          b = 2        c = 5

b)  x = + 1 + √6   ou    x = + 1 - √6

c)  - 2x - h + 2

d) Imagem = { x ∈ |R : x ∈ [ 6 ; - ∞ )

A equação completa do segundo grau é do tipo:  

[tex]\large\text{$ax^2+bx+c=0~~~~~~~~~~a\neq 0$}[/tex]

No primeiro membro está uma função do segundo grau:

[tex]\large\text{$y=ax^2+bx+c$}[/tex]

Uma das maneiras de encontrar uma equação de uma parábola, equação do segundo grau é através fórmula conhecendo vértice:

[tex]\large\text{$a\cdot(x-h)^2+k$}~~~~~~~~~~(i)[/tex]

onde vértice têm as coordenadas:

[tex](~h~{;}~k~)[/tex]

[tex]\large\text{$V\acute{e}rtice~=~(~h~{;} ~k~)$}[/tex]

[tex]\large\text{$V\acute{e}rtice~=~(~1~{;} ~6~)$}[/tex]

Neste caso fica:

[tex]\large\text{$a\cdot(x-1)^2+6=0$}[/tex]

Porque se tem uma equação com dois valores desconhecidos:

[tex]\large\text{$"a"~~~~~e~~~~~"x"$}[/tex]

preciso encontrar outra equação com mesmos  valores desconhecidos

Sabendo que esta parábola passa no ponto :

[tex]\large\text{$B=(~0~{;}~5~)$}[/tex]

Ou seja , quando x = 0 , y = 5

Obtém-se a outra equação

[tex]\large\text{$a\cdot(0-1)^2+6=5$}[/tex]

[tex]\large\text{$a\cdot1+6=5$}[/tex]

[tex]\large\text{$a=5-6$}[/tex]

[tex]\large\text{$a=-1$}[/tex]

[tex]\large\begin{cases}\sf \large\text{$a\cdot(x-1)^2+6=0$}\\ \\\sf a=-1\end{cases}[/tex]

[tex]\large\begin{cases}\sf \large\text{$-1\cdot( x^2-2\cdot x\cdot1+1^2)+6=0$}\\ \\\sf a=-1\end{cases}[/tex]

[tex]\large\begin{cases}\sf \large\text{$-1\cdot( x^2-2x+1^2)+6=0$}\\ \\\sf a=-1\end{cases}[/tex]

[tex]\large\begin{cases}\sf \large\text{$-1\cdot x^2+2x-1^2+6=0$}\\ \\\sf a=-1\end{cases}[/tex]

[tex]\large\begin{cases}\sf \large\text{$-x^2+2x+5=0$}\\ \\\sf a=-1\end{cases}[/tex]

a)

[tex]\large\text{$-x^2+2x+5=0$}[/tex]

Coeficientes:

[tex]\large\text{$a=-1$}[/tex]

[tex]\large\text{$b=2$}[/tex]

[tex]\large\text{$c=5$}[/tex]

b)

Cálculo das raízes usando a Fórmula de Bhaskara

[tex]\large\text{$ \sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$}[/tex]

[tex]\large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{-2 +\sqrt {2^2-4\cdot (-1)\cdot 5}}{2\cdot(-1)}$}[/tex]

[tex]\large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{-2 +\sqrt {4+20}}{-2}$}[/tex]

[tex]\large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{-2 +\sqrt {24}}{-2}$}[/tex]

Nota 1

Para simplificar um radical pode-se usar as seguintes propriedades:

• [tex]\large\text{$ \sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}~~~~~~~~(i) $}[/tex]

• [tex]\large\text{$ \sqrt[n]{a^n}=a~~~~~~~~~~(ii) $}[/tex]

• [tex]\large\text{$\sqrt{a\cdot b}= \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} ~~~~~~~~~~ ~(IV) $}[/tex]

Início de cálculo auxiliar

para simplificar:

[tex]\large\text{$ \sqrt {24}$}[/tex]

Decompor em fatores primos o 24

[tex]\begin{array}{r|l}24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1& \!\!\! \overline{~24=2^3 \cdot 3 }\end{array}[/tex]

Nota 2

Produto de potências com a mesma base

Mantém-se a base e somam-se os expoentes

Exemplo:

[tex]\large\text{$ 2^2 \cdot 2^1=2^{2+1}=2^3~~~~ ~~~~~(iii) $}[/tex]

Mas ter em atenção que pode ser necessário começar do " fim para o início ":

[tex]\large\text{$2^3=2^{2+1} = 2^2 \cdot 2^1$}[/tex]

[tex]\large\text{$ \sqrt {24}$}[/tex]

[tex]=\large\text{$ \sqrt {2^3\cdot3}$}[/tex]

[tex]=\large\text{$ \sqrt {2^2\cdot2^1\cdot3} ~~~~~~~~usando~~(iii)$}[/tex]

[tex]=\large\text{$ \sqrt {2^2\cdot2^1}\cdot\sqrt{3} ~~~~~~~~usando~~(i)$}[/tex]

[tex]=\large\text{$ \sqrt {2^2}\cdot \sqrt{2} \cdot\sqrt{3} ~~~~~~~~usando~~(i)$}[/tex]

[tex]=\large\text{$ 2\cdot \sqrt{2} \cdot\sqrt{3} ~~~~~~~~usando~~(i)$}[/tex]

[tex]=\large\text{$ 2\cdot \sqrt{2\cdot3} ~~~~~~~~usando~~(IV)$}[/tex]

[tex]=\large\text{$ 2\cdot \sqrt{6}$}[/tex]

Fim de cálculo auxiliar

[tex]\large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{-2 +2\sqrt {6}}{-2}$}[/tex]

[tex]\large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{2\cdot (-1 +\sqrt {6})}{-2}$}[/tex]

Nota 3 :

Colocou-se, no numerador , o 2 em evidência pois é comum às duas parcelas.

• Depois o 2 no numerador cancelou com 2 no denominador

• Isto foi possível porque no numerador e denominador só existem multiplicações, fora de parêntesis

[tex]\large\text{$ \sf x_{1} = -(-1 +\sqrt {6})$}[/tex]

[tex]\large\text{$ \sf x_{1} = +1-\sqrt {6}$}[/tex]

[tex]\large\text{$ \sf x_{2} = -(-1 -\sqrt {6})$}[/tex]

[tex]\large\text{$ \sf x_{2} = +1 +\sqrt {6}$}[/tex]

A Fórmula de Bhascara tem no numerador o sinal:

[tex]\large\text{$ \pm$}[/tex]

que significa que uma vez usa-se  [tex]\large\text{$"~ +~"$}[/tex]  e outra  [tex]\large\text{$"~ -~"$}[/tex]

Nota 4

Sinal " - " antes de parêntesis

As parcelas dentro do parêntesis, quando saem, trocam seu sinal.

Exemplos :

[tex]-(-7)=+7[/tex]

[tex]-(+3)=-3[/tex]

c)

Enunciado da alínea (anexo 4)

Calcule o valor de :

[tex]\large\text{$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}~~~ ~~~~~~h\neq 0 $}[/tex]

Resolução

A função f(x) já foi calculada.

[tex]\large\text{$-x^2+2x+5=0$}[/tex]

O que é pedido vai começar por no lugar de "x"  colocar " x + h"

[tex]\large\text{$-x^2+2x+5=0$}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}~~~ ~~~~~~h\neq 0 $}[/tex]

[tex]\large\text{$=\dfrac{-(x+h)^2+2\cdot (x+h)+5}{h} ~~~~~~~~~h\neq 0$}[/tex]

[tex]\large\text{$=\dfrac{-(x^2+2\cdot x \cdot h+h^2)+2\cdot x+2\cdot h+5-(-x^2+2x+5)}{h} $}[/tex]

[tex]\large\text{$=\dfrac{-x^2-2hx-h^2+2x+2 h+5+x^2-2x-5}{h} $}[/tex]

Vários valores são simétricos, por isso na sua adição se cancelam.

[tex]\large\text{$=\dfrac{-x^2+x^2-2hx-h^2+2x-2x+2 h+5-5}{h} $}[/tex]

[tex]\large\text{$=\dfrac{-2hx-h^2+2 h}{h} $}[/tex]

No numerador existem três monômios que têm em comum " h " .

Vai ser colocado em evidência.

[tex]\large\text{$=\dfrac{h\cdot(-2x-h+2 )}{h} $}[/tex]

Como no numerador apenas existe multiplicação, fora de parêntesis, o termo "h" pode cancelar com o "h" no denominador.

[tex]\large\text{$=-2x-h+2 ~~~~~~~~~h\neq 0 $}[/tex]

Nota 5

Desenvolvimento do quadrado de uma soma

Este produto notável tem o seguinte desenvolvimento:

• quadrado do primeiro termo

mais

• dobro do produto pelo segundo termo

mais

• quadrado do segundo termo

Nota 6

A condição de [tex]h\neq 0[/tex] existe pois:

• não se pode fazer divisões por zero.

Mais tarde quando for feito o estudo de Limites com símbolos de Indeterminação e Impossibilidade irão ser mostradas manipulações matemáticas para ultrapassar esta situação.

d)

O domínio de uma parábola é o Conjunto dos Números Reais

A imagem é obtida analisando o eixo do y:

• o maior valor que "y" tem é 6

• depois vai diminuindo até " - ∞ "

• [tex]\large\text{$ Imagem =x\in~[~6~{;}~ -\infty ~)$}[/tex]

Nota 3

No gráfico no anexo 1

• A e B são as raízes da função
• V é o vértice
• IY á o ponto interseção eixo "y"

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Bons estudos.

Att     Duarte Morgado

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[tex](\cdot)[/tex]  multiplicação         [tex](\neq )[/tex]  diferente de        [tex](\in)[/tex]  pertence a

[tex](\infty)[/tex]  infinito

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.