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1- O gráfico da função quadrática, mostrado na figura a seguir, intersecta o eixo y no ponto (0,9), e o eixo x, nos pontos (−2, 0) e (13, 0). Determine o valor de k para que o ponto P(11,k) seja um ponto dessa parábola.
2- Em uma circunferência de diâmetro 20 cm se inscreve um retângulo de lado x, como mostra a figura abaixo. Expresse a área do retângulo em função de x e determine o domínio dessa função.
1- O gráfico da função quadrática, mostrado na figura a seguir, intersecta o eixo y no ponto (0,9), e o eixo x, nos pontos (−2, 0) e (13, 0). Determine o valor de k para que o ponto P(11,k) seja um ponto dessa parábola.
2- Em uma circunferência de diâmetro 20 cm se inscreve um retângulo de lado x, como mostra a figura abaixo. Expresse a área do retângulo em função de x e determine o domínio dessa função.
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Lista de comentários
1°)A função quadrática que representa o gráfico dado é f(x) = (-9/26)x² + (99/26)x + 9. Para verificar se o ponto P(11, k) pertence à parábola, nós substitua k = 11 na função: k = 9
2°)A área do retângulo é dada pela função A(x) = x * √(400 - x²), e o domínio desta função é 0 < x < 20.
Função quadrática
1°)Para encontrar o valor de k tal que o ponto P(11, k) esteja na parábola, podemos usar as informações fornecidas sobre a interceptação y e a interceptação x da função quadrática.
Dado que o gráfico da função quadrática intercepta o eixo y em (0, 9), sabemos que quando x = 0, f(x) = 9. Portanto, inserindo esses valores na função quadrática, obtemos:
f(0) = a(0)² + b(0) + c = c = 9
Portanto, o termo constante c é 9.
Agora, temos a função quadrática na forma f(x) = ax² + bx + 9.
Dado que o gráfico da função quadrática intercepta o eixo x em (-2, 0) e (13, 0), podemos escrever as seguintes equações:
f(-2) = a(-2)^2 + b(-2) + 9 = 0
4a - 2b + 9 = 0
f(13) = a(13)^2 + b(13) + 9 = 0
169a + 13b + 9 = 0
Agora, temos um sistema de duas equações com duas variáveis (a e b). Vamos resolver este sistema:
4a - 2b + 9 = 0
169a + 13b + 9 = 0
Para eliminar uma variável, vamos multiplicar a primeira equação por 13 e a segunda equação por 2:
52a - 26b + 117 = 0
338a + 26b + 18 = 0
Agora, adicionar as duas equações para eliminar b:
52a - 26b + 117 + 338a + 26b + 18 = 0
390a + 135 = 0
Resolver para:
390a = -135
a = -135/390
a = -9/26
Agora, substituindo o valor de a na primeira equação para encontrar b:
4a - 2b + 9 = 0
4(-9/26) - 2b + 9 = 0
-36/26 - 2b + 9 = 0
-36 - 52b + 234 = 0
-52b + 198 = 0
-52b = -198
b = -198 / -52
b = 99/26
Assim, a função quadrática é f(x) = (-9/26)x² + (99/26)x + 9.
Agora, queremos verificar se o ponto P(11, k) está na parábola:
k = (-9/26)(121) + (99/26)(11) + 9
k = 9
2°)Para expressar a área do retângulo como uma função de x, primeiro precisamos encontrar uma expressão para y em termos de x. Como o retângulo está inscrito em uma circunferência com diâmetro de 20 cm, a diagonal do retângulo (que é igual ao diâmetro da válvula) é de 20 cm.
Podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar y em termos de x:
Assim, temos a equação:
x² + y² = d², onde d é o diâmetro da válvula, que é 20 cm.
Substituindo o valor de d:
x²+ y² = 20²
x² + y² = 400
Agora, também sabemos que dentro do retângulo existe um triângulo retângulo com lados x/2, y/2 e hipotenusa 10 cm.
Usando o teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo:
(x/2)² + (y/2)² = 10²
x²/4 + y²/4 = 100
Agora, vamos encontrar y² em termos de x:
y² = 4 * (100 - x²/4)
Agora podemos expressar a área (A) do retângulo como uma função de x:
A = x * y
A = x * √(4 * (100 - x²/4))
O domínio desta função refere-se aos valores válidos de x que fazem sentido neste contexto. Para que o retângulo exista, tanto x quanto y devem ser positivos. Além disso, os lados do retângulo não podem ultrapassar o diâmetro da válvula (20 cm), então temos:
0 < x < 20
0 < y < 20
Agora, vamos simplificar a função para expressá-la apenas em termos de x:
A = x * √(4 * (100 - x²/4))
A = x * √(400 - x²)
Saiba mais sobre Função quadrática:https://brainly.com.br/tarefa/4541135
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