Resposta:

a) Para uma função afim, a equação que define a função é da forma f(x) = mx + b, onde m é o coeficiente angular (a inclinação da reta) e b é o coeficiente linear (o ponto de interseção com o eixo y).

Para encontrar a equação que define f, usaremos os pontos dados f(2) = 0 e f(-3) = 5.

Substituindo o ponto (2, 0) na equação, obtemos:

0 = 2m + b (equação 1)

Substituindo o ponto (-3, 5) na equação, obtemos:

5 = -3m + b (equação 2)

Agora podemos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de m e b. Vamos subtrair a equação 1 da equação 2:

5 - 0 = -3m - 2m + b - b

5 = -5m

m = -1

Substituindo o valor de m na equação 1, encontramos:

0 = 2(-1) + b

0 = -2 + b

b = 2

Portanto, a equação que define a função f é f(x) = -x + 2.

b) O domínio da função f é o conjunto dos números reais R, pois a função é definida para qualquer valor real de x.

A imagem de f é o conjunto dos valores reais que f(x) pode assumir. Neste caso, a imagem é o conjunto dos números reais R, pois a função afim não possui restrições na faixa de valores que pode assumir.

c) Queremos provar que para todo x ∈ Z (o conjunto dos números inteiros), f(4x) é divisível por 2.

Substituindo 4x na equação que define f, temos:

f(4x) = -(4x) + 2

= -4x + 2

Para provar que f(4x) é divisível por 2 para todo x ∈ Z, precisamos mostrar que -4x + 2 é divisível por 2.

Podemos reescrever -4x + 2 como 2(-2x + 1). Agora é evidente que -4x + 2 é divisível por 2, pois é um múltiplo de 2.

Portanto, podemos concluir que para todo x ∈ Z, f(4x) é divisível por 2.

Verified answer

a) f(x) = -x + 2

b) D(f) = |R

   Im(f) = |R

c) f(4x) = 2(-2x + 1)  é  divisível por 2

================================================================

Uma função afim é do tipo

f(x) = ax + b

No nosso caso

f(2) = 0                                     f(-3) = 5

a . 2 + b = 0                             a . (-3) + b = 5

2a + b = 0                              -3a + b = 5

a) Trata-se de um sistema linear

[tex]\left\{\begin{aligned} 2a + b &= 0\\ -3a + b &= 5\end{aligned}\right[/tex]

Resolvendo pelo método da adição

[tex]\left\{\begin{aligned} 2a + b &= 0\\ -3a + b &= 5\:\:\:\times (-1)\end{aligned}\right[/tex]

[tex]\left\{\begin{aligned} 2a + b &= 0\\ 3a - b &= -5\end{aligned}\right[/tex]

Somando as equações membro a membro

[tex]5a + 0b = -5\\\\5a = -5\\\\a=\dfrac{-5}{5}\\\\a=-1[/tex]

Substituindo a por -1 na primeira equação

[tex]2a + b = 0\\\\2\cdot (-1)+b=0\\\\-2+b = 0\\\\b = 2[/tex]

Então, a função é

f(x) = ax + b

f(x) = -1x + 2

f(x) = -x + 2

b) O domínio da função são os possíveis valores que x pode assumir. Nesse caso o x pode assumir qualquer valor, sem restrições:

D (f): |R

A imagem da função representa os possíveis valores de f(x) após a substituição de x por um valor Real. Nesse caso o valor de f(x) pode resultar qualquer valor:

Im (f): |R

c) Prove que para todo x ∈ Z, f(4x) é divisível por 2

f(x) = -x + 2

f(4x) = -4x + 2

f(4x) = 2(-2x + 1)

Como f(4x) pôde ser escrito com um 2 em evidência significa que independentemente do valor de x a expressão pode ser dividida por 2.

∴ f(4x) é divisível por 2