Por favor me ajudem não entendi essa pergunta, expliquem passo a passo
Considere que a produção de óleo cru, em milhares de barris por dia, de uma bacia petrolífera possa ser descrita por uma função da forma Q(t) =A. e−kt, em que A e k são constantes positivas, t é o tempo, em anos, a partir do ano t = 0, que corresponde
ao ano de maior produtividade da bacia. Com base nessas informações, resolva os itens que seguem:
a) Considere que a maior produtividade da bacia tenha sido de 1.200.000 barris de óleo cru por dia e, 10 anos depois, a produtividade caiu para 800.000 barris por dia. Nessa situação, qual a produção, em barris por dia, após 20 anos?
b) Considere que cada barril de óleo cru produzido nessa bacia possa ser vendido por 50 dólares e que as despesas diárias da companhia produtora nessa bacia petrolífera sejam de 200 mil dólares. Com o decréscimo anual de produção, sem que haja decréscimo nas despesas, a partir de determinado ano será inviável continuar a explorar essa bacia. Nessa situação, determine o valor de t para o qual a companhia produtora terá algum lucro nessa bacia.
Considere que a produção de óleo cru, em milhares de barris por dia, de uma bacia petrolífera possa ser descrita por uma função da forma Q(t) =A. e−kt, em que A e k são constantes positivas, t é o tempo, em anos, a partir do ano t = 0, que corresponde
ao ano de maior produtividade da bacia. Com base nessas informações, resolva os itens que seguem:
a) Considere que a maior produtividade da bacia tenha sido de 1.200.000 barris de óleo cru por dia e, 10 anos depois, a produtividade caiu para 800.000 barris por dia. Nessa situação, qual a produção, em barris por dia, após 20 anos?
b) Considere que cada barril de óleo cru produzido nessa bacia possa ser vendido por 50 dólares e que as despesas diárias da companhia produtora nessa bacia petrolífera sejam de 200 mil dólares. Com o decréscimo anual de produção, sem que haja decréscimo nas despesas, a partir de determinado ano será inviável continuar a explorar essa bacia. Nessa situação, determine o valor de t para o qual a companhia produtora terá algum lucro nessa bacia.
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Para resolver os itens propostos, precisamos usar a função de produção de óleo cru Q(t) = A * e^(-kt), onde A e k são constantes positivas. Analisaremos cada item separadamente:
a) Para determinar a produção após 20 anos (t = 20), precisamos usar as informações fornecidas. Sabemos que a maior produtividade da bacia foi de 1.200.000 barris por dia (Q(0) = 1.200.000) e, 10 anos depois, a produtividade caiu para 800.000 barris por dia (Q(10) = 800.000).
Montaremos um sistema de equações usando essas informações:
Q(0) = A * e^(-k*0) = 1.200.000
Q(10) = A * e^(-k*10) = 800.000
Agora, podemos resolver esse sistema para encontrar os valores de A e k:
Dividindo a segunda equação pela primeira, temos:
(800.000 / 1.200.000) = e^(-k*10)
0,6666667 = e^(-10k)
Agora, para encontrar o valor de k, podemos aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados da equação:
ln(0,6666667) = ln(e^(-10k))
ln(0,6666667) = -10k
Agora, podemos calcular o valor de k:
k = ln(0,6666667) / -10 ≈ 0,0202
Agora que temos o valor de k, podemos usar a primeira equação para encontrar o valor de A:
1.200.000 = A * e^(-0,0202 * 0)
1.200.000 = A * e^0
A = 1.200.000
Agora, temos os valores de A e k. Vamos calcular a produção após 20 anos (t = 20):
Q(20) = 1.200.000 * e^(-0,0202 * 20)
Q(20) ≈ 1.200.000 * e^(-0,404) ≈ 1.200.000 * 0,667 ≈ 800.400 barris por dia
Portanto, após 20 anos, a produção será de aproximadamente 800.400 barris por dia.
b) Agora, determinaremos o valor de t para o qual a companhia produtora terá algum lucro nessa bacia. Para isso, precisamos considerar a receita e as despesas.
A receita diária é o número de barris produzidos multiplicado pelo preço de cada barril (50 dólares):
Receita = Q(t) * 50
As despesas diárias são de 200 mil dólares:
Despesas = 200.000
O lucro é dado pela diferença entre a receita e as despesas:
Lucro = Receita - Despesas
Agora, encontraremos o valor de t para o qual o lucro é maior ou igual a zero (quando a empresa começa a ter algum lucro):
Lucro = Q(t) * 50 - 200.000
Lembrando que Q(t) = A * e^(-kt), podemos reescrever a expressão do lucro:
Lucro = A * e^(-kt) * 50 - 200.000
Agora, substituímos o valor de A e k que encontramos anteriormente:
Lucro = 1.200.000 * e^(-0,0202t) * 50 - 200.000
Para determinar o valor de t no qual o lucro é igual a zero, resolvemos a equação:
1.200.000 * e^(-0,0202t) * 50 - 200.000 = 0
1.200.000 * e^(-0,0202t) = 4.000
Agora, isolamos o termo com o expoente negativo:
e^(-0,0202t) = 4.000 / 1.200.000
e^(-0,0202t) ≈ 0,0033333333
Aplicando o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
ln(e^(-0,0202t)) ≈ ln(0,0033333333)
-0,0202t ≈ ln(0,0033333333)
Agora, podemos calcular o valor de t:
t ≈ ln(0,0033333333) / -0,0202 ≈ 54,28
Aproximadamente após 54,28 anos (ou seja, por volta do ano 54 ou 55), a companhia produtora não terá mais lucro nessa bacia petrolífera, e a exploração se tornará inviável considerando a queda anual na produção e as despesas constantes.