Me ajudemmm é para amanhã e ainda não entendi como faz issoooooooo
Sabe-se, desde a Antiguidade, que a área de um triângulo isósceles inscrito em uma parábola de modo que o vértice da parábola coincida com o vértice do triângulo oposto a base e os vértices da base do triângulo estejam sobre a parábola é igual 3⁄4 da área da região plana limitada pela parábola e pelo segmento que é a base do triângulo. Nessa situação, determine a área da região limitada pelo gráfico da função f(x) = -x2-2x+15 e pelo eixo de coordenadas Ox.
Sabe-se, desde a Antiguidade, que a área de um triângulo isósceles inscrito em uma parábola de modo que o vértice da parábola coincida com o vértice do triângulo oposto a base e os vértices da base do triângulo estejam sobre a parábola é igual 3⁄4 da área da região plana limitada pela parábola e pelo segmento que é a base do triângulo. Nessa situação, determine a área da região limitada pelo gráfico da função f(x) = -x2-2x+15 e pelo eixo de coordenadas Ox.
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Resposta:
Explicação passo a passo:
calculando as raízes
-x² - 2x + 15 = 0
x² + 2x - 15 = 0
(x + 5)(x - 3) = 0
x + 5 = 0 ⇒ x' = -5
x - 3 = 0 ⇒ x'' = 3
f(x) = -x² - 2x + 15
achando vértice da parábola
x(v) = -b/2a ⇒ x(v) = - -2/2(-1) = -1
y(v)= -(-1)² -2(-1) + 15 = -1 + 2 + 15 = 16
V = (-1 16)
área da parábola entre seu vértice e o eixo das abscissas será a integral da função no intervalo -5 e 3
-∫x²dx -2∫xdx + 15∫dx
-x³/3 - 2x²/2 + 15x
calculando para limite superior ‘’3’’
-3³/3 – 3² + 15.3 = -9 -9 + 45 = 27
Calculando para limite inferior ‘’-5’
-(-5)³/3 - (-5)² + 15(-5) = 125/3 -25 -75 = 125/3 - 100 = -175/3
então área da parábola entre o vértice e eixo horizontal
27 – (-175/3) = 27 + 175/3 = (81+ 175)/3 = 256/3
realmente a área do triângulo isósceles de vértice (-1 16)
e base nas raízes (-5 0) e (3 0) será (8.16)/2 = 64
e corresponde a 3/4 da área da parábola pois
3/4 de 256/3 = 256/4 = 64