Matemática avançada.
Dado que R é o corpo dos números reais, justifique a frase:
Se F é um corpo ordenado completo, então F é isomorfo a R.
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Se F é um corpo ordenado completo, então F é isomorfo a R.
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Justificativa:
Para mostrar que F é isomorfo a R, devemos construir uma função f: R -> F e depois mostrar que f é isomorfismo entre R e F. Definimos f nos inteiros pondo
f(0) = 0
f(n) = 1+ · · · +1 , n vezes para n > 0;
f(n) = −(1+ · · · +1) n vezes para n < 0.
É fácil verificar que
f(m + n) = f(m)+f(n)
.f(m · n) = f(m) f(n), para todos os inteiros m.
Olhando para os números racionais, defina f
f(m/n) = m/n
É necessário saber que dado x arbitrário, qualquer número real x é determinado pelos números racionais menores do que ele (veja cortes de Dedekind ).
Agora, dado x ∈ R, seja A o subconjunto o corpo F de todos f(r), para todos os números racionais r < x( estamos usando a definição).
Note que A é não vazio e limitado superiormente. Sendo F é um corpo ordenado completo, o conjunto A tem uma menor cota superior sup A.
Aqui você deve observar que supA=f(x). Tendo em vista isso, f é bem definida. Faltaria mostrar que f é um isomorfismo.
Uma das condições para isso demonstrarei aqui:
Sejam x e y são números reais considerando x < y, veja que f(x) ≤ f(y). Para excluir a igualdade, note que existem números racionais r e s com x < r < s < y. Daí, f(r) < f(s) e segue que f(x) ≤ f(r) < f(s) ≤ f(y).
Supondo verificadas as demais condições, teriamos que seguir verificando as propriedades de isomorfismo para a operação . , isto é, dados x e y reais positivos, com argumento análogo mostra-se f(x.y) = f(x). f(y).
Assim, fica provado que dado qualquer corpo ordenado completo é isomorfo a R. Dito de outro modo, R é o único corpo ordenado completo.
bons estudos.