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Resposta:

(2+a) , (5+a) , (7+a)

(5+a)/(2+a)=(7+a)/(5+a)

(5+a)²=(2+a)*(7+a)

25+10a+a²=14+2a+7a+a²

25+10a =14+9a

a=-11

Vamos lá.

Veja, Paullo, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o valor do maior número que devemos adicionar a "2", "5" e "7" para que tenhamos, nessa ordem, três números em PG.

ii) Veja: vamos chamar esse número de "x". Então vamos somar "x" a cada um dos números dados, ou seja ao "2" , ao "5" e ao "7". Assim, ficaremos com a seguinte sequência que é uma PG:

(2+x; 5+x; 7+x).

Agora veja: para que a sequência acima seja uma PG, então a razão (q) é constante e é obtida pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente. Então, para que os termos acima sejam de uma PG deveremos ter isto:

(7+x)/(5+x) = (5+x)/(2+x) ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

(2+x)*(7+x) = (5+x)*(5+x) ----- efetuando os produtos indicados nos dois membros, teremos:

14+9x+x² = 25+10x+x² ----- passando todo o 2º membro para o 1º, ficaremos:

14 + 9x + x² - 25 - 10x - x² = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:

- 11 - x = 0 ---- passando "-11" para o 2º membro, ficamos:

- x = 11 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:

x = - 11 <--- Esta é a resposta. Opção "a". Ou seja o número que deveríamos somar aos números "2", "5" e "7" para que a sequência fosse de uma PG é "-11".

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver que PG teremos formado quando somarmos o valor de "-11" aos números "2", "5" e "7". Note que inicialmente tínhamos que a PG seria esta:

(2+x; 5+x; 7+x) ----- agora vamos substituir o "x" por "-11", ficando:

(2+(-11); 5+(-11); 7+(-11)) = (2-11; 5-11; 7-11) = (-9; -6; -4) . <---- Esta seria a PG após somarmos "-11" aos números "2", "5" e "7". Note que é uma PG cuja razão é igual a "2/3", pois: -4/-6 = -6/-9 = 2/3.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.