Preciso de ajuda em resolver limites de uma função de duas variáveis em anexo em pdf.... Pergunta de ideia deRicardouea

ArthurPDC (a) Como não há indeterminação no limite, basta que substituamos na sua expressão os valores para os quais cada uma das variáveis se aproxima:

$L=\lim_{(x,y)\to(6,-9)}\left(\dfrac{81x^2+108xy+36y^2}{12y+4}\right)\\\\
L=\lim_{(x,y)\to(6,-9)}\left(\dfrac{(9x+6y)^2}{12y+4}\right)\\\\
L=\dfrac{(9\cdot6+6\cdot(-9))^2}{12\cdot(-9)+4}\\\\
L=\dfrac{(54-54)^2}{-108+4}\\\\
L=\dfrac{(0)^2}{-104}\\\\
L=0\\\\
\boxed{\lim_{(x,y)\to(6,-9)}\left(\dfrac{81x^2+108xy+36y^2}{12y+4}\right)=0}$

Portanto, a resposta é $\text{Letra }\bold{D}.$

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(b) Há uma indeterminação no limite. Desse modo, vamos tentar desenvolvê-lo para eliminá-la. Vamos fazer uma troca de variáveis. Seja $u=\sqrt{x+3}\Longrightarrow x=u^2-3$ . Então, $u \to\sqrt3$ quando $x\to0$ . Usando essa substituição no limite:

$L=\lim_{(x,y)\to(0,0)} \left(\dfrac{\sqrt{x+3}-\sqrt3}{xy+x}\right)\\\\
L=\lim_{(x,y)\to(0,0)} \left(\dfrac{\sqrt{x+3}-\sqrt3}{x(y+1)}\right)\\\\
L=\lim_{(u,y)\to(\sqrt3,0)} \left(\dfrac{u-\sqrt3}{(u^2-3)(y+1)}\right)\\\\
L=\lim_{(u,y)\to(\sqrt3,0)} \left(\dfrac{u-\sqrt3}{(u-\sqrt3)(u+\sqrt3)(y+1)}\right)\\\\
L=\lim_{(u,y)\to(\sqrt3,0)} \left(\dfrac{1}{(u+\sqrt3)(y+1)}\right)$

Veja que agora não há mais a indeterminação dentro do limite. Assim, podemos substituir diretamente os valore para os quais cada uma das variáveis tende:

$L=\lim_{(u,y)\to(\sqrt3,0)} \left(\dfrac{1}{(u+\sqrt3)(y+1)}\right)\\\\
L=\dfrac{1}{(\sqrt3+\sqrt3)(0+1)}\\\\
L=\dfrac{1}{(2\sqrt3)\cdot(1)}\\\\
L=\dfrac{1}{2\sqrt3}\\\\
\boxed{\lim_{(x,y)\to(0,0)} \left(\dfrac{\sqrt{x+3}-\sqrt3}{xy+x}\right)=\dfrac{1}{2\sqrt3}}$

Usando que $\sqrt3\approx1,7$ , obtemos que $L\approx0,29$ . Portanto o valor aproximado do limite é 0,3, $\text{Letra }\bold{A.}$

acidbutter Muito bom!

acidbutter A)
$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(6,-9)}\frac{81x^2+108xy+36y^2}{12y+4}$
Calcular o limite da função tendendo a esse ponto:
$\displaystyle i)~~~~\lim_{(x,y)\to(6,-9)}-\frac{81x^2+108xy+36y^2}{12y+4}=-\frac{81\cdot36-108\cdot6\cdot9+36\cdot 81}{12\cdot-9+4}\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=-\frac{2916-5832+2916}{-108+4}=\frac{0}{104}=\boxed{0}$

b)
$\displaystyle \lim_{ \left . {{x\to0} \atop {y\to0}} \right. }\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{xy+x}$
Calcular de cara:
$\displaystyle \lim_{ \left . {{x\to0} \atop {y\to0}} \right. }\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{xy+x} =\frac{\sqrt{0+3}-\sqrt3}{0+0}=\frac{0}{0}$
Caímos em uma indeterminação:
Regra dos dois caminhos:
Primeiro caminho: y = mx
$\displaystyle i)~~~~\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{mx^2+x}=\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt3)'}{(mx^2+x)'}\\\\ii)~~~\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt3)'}{(mx^2+x)'}=\lim_{x\to0}\frac{1}{(4mx+2)\sqrt{x+3}}\\\\iii)~~\lim_{x\to0}\frac{1}{2}\frac{1}{2mx+1(\sqrt{x+3})}=\frac{1}{2}\frac{1}{0+\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt3}\approx\boxed{0,288}$

Segundo caminho: y=mx^2
$\displaystyle i)~~~~\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{mx^3+x}=\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt3)'}{(mx^3+x)'}\\\\ii)~~~\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt3)'}{(mx^3+x)'}=\lim_{x\to0}\frac{1}{(6mx^2+2)\sqrt{x+3}}\\\\iii)~~\lim_{x\to0}\frac{1}{(6mx^2+2)\sqrt{x+3}}=\frac{1}{0+2\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt3}\approx\boxed{0,288}$

Logo a mais próxima é a letra D.

Note, a regra dos dois caminhos equivale à regra dos limites laterais, mas como não estamos mais tratando apenas de x, existe n maneiras de se aproximar do ponto onde a função tende ao limite. Se os caminhos são diferentes e o limite iguais, então existe limite. Caso não, não existe limite no ponto.

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