Após resolver o sistema de equações, encontramos os valores de 'a' e 'b': a = -21, b = 19/2 A opção que corresponde ao valor de b/a é: c) b/a = -19/42

Função contínua

Para tornar a função contínua, ambas as partes da função precisam concordar no ponto em que se encontram, que é [tex]\( x = -2 \)[/tex]. Para[tex]\( x < -2 \)[/tex], a função é dada por:

[tex]\[ f(x) = \frac{x - a}{x + 1} \][/tex]

Agora, vamos encontrar o limite da função quando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima de -2 pelo lado esquerdo [tex](\( x < -2 \))[/tex]:

[tex]\[ \lim_{{x \to -2^-}} \left[\frac{x - a}{x + 1}\right] \][/tex]

Para tornar a função contínua, o limite quando x  se aproxima de -2 pela esquerda deve ser igual ao valor da função para [tex]\( x \geq -2 \)[/tex]. Assim, para[tex]\( x \geq -2 \)[/tex], a função é dada por:

[tex]\[ f(x) = ax^2 + bx \][/tex]

Agora, vamos encontrar o limite da função quando x se aproxima de -2 pelo lado direito [tex](\( x \geq -2 \))[/tex]:

[tex]\[ \lim_{{x \to -2^+}} [ax^2 + bx] \][/tex]

Para que a função seja contínua em [tex]\( x = -2 \)[/tex], esses dois limites devem ser iguais. Então, nós os igualamos entre si:

[tex]\[ \lim_{{x \to -2^-}} \left[\frac{x - a}{x + 1}\right] = \lim_{{x \to -2^+}} [ax^2 + bx] \][/tex]

Agora, calculando o limite do lado esquerdo:

[tex]\[ \lim_{{x \to -2^-}} \left[\frac{x - a}{x + 1}\right] = \lim_{{x \to -2^-}} \left[\frac{-2 - a}{-2 + 1}\right] = -2 - a \][/tex]

Agora, calculando o limite do lado direito:

[tex]\[ \lim_{{x \to -2^+}} [ax^2 + bx] = a(-2)^2 + b(-2) = 4a - 2b \][/tex]

Agora, definindo esses dois limites iguais entre si:

[tex]\[ -2 - a = 4a - 2b \][/tex]

Esta equação nos dá a relação entre 'a' e 'b' necessária para que a função seja contínua.

Em seguida, para que a função seja diferenciável, ambas as partes da função devem ser diferenciáveis em [tex]\( x = -2 \)[/tex]. Isso significa que as derivadas de ambas as partes devem ser iguais em [tex]\( x = -2 \).[/tex]

Derivada de [tex]\( f(x) \)[/tex] para [tex]\( x < -2 \):[/tex]

[tex]\[ f(x) = \frac{x - a}{x + 1} \][/tex]

Usando a regra do quociente, a derivada da primeira parte é:

[tex]\[ f'(x) = \frac{(x + 1)(1) - (x - a)(1)}{(x + 1)^2} \][/tex]

[tex]\[ f'(x) = \frac{x + 1 - x + a}{(x + 1)^2} \][/tex]

[tex]\[ f'(x) = \frac{a + 1}{(x + 1)^2} \][/tex]

Derivada de[tex]\( f(x) \)[/tex] para [tex]\( x \geq -2 \)[/tex]:

[tex]\[ f(x) = ax^2 + bx \][/tex]

Usando a regra da potência, a derivada da segunda parte é:

[tex]\[ f'(x) = 2ax + b \][/tex]

Agora, igualando as derivadas entre si em [tex]\( x = -2 \)[/tex]:

[tex]\[ \frac{a + 1}{(x + 1)^2} = 2a(-2) + b \][/tex]

[tex]\[ \frac{a + 1}{9} = -4a + b \][/tex]

Agora, temos duas equações que precisam ser satisfeitas:

[tex]\[ -2 - a = 4a - 2b \][/tex]

[tex]\[ \frac{a + 1}{9} = -4a + b \][/tex]

Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de 'a' e 'b':

Da equação 1, podemos reorganizar para obter:

[tex]\[ a + 2b = -2 \][/tex]

Agora, adicionando esta equação à equação 2:

[tex]\[ \frac{a + 1}{9} + a + 2b = 0 \][/tex]

Para simplificar, multiplicando tudo por 9:

[tex]\[ a + 1 + 9a + 18b = 0 \][/tex]

Combinando os termos 'a':

[tex]\[ 10a + 1 + 18b = 0 \][/tex]

Agora, subtraindo 1 de ambos os lados:

[tex]\[ 10a + 18b = -1 \][/tex]

Agora, a relação entre 'a' e 'b' da equação [tex]\( -2 - a = 4a - 2b \)[/tex]:

[tex]\[ a + 2b = -2 \][/tex]

Multiplicando esta equação por 5 para tornar os coeficientes 'a' iguais:

[tex]\[ 5a + 10b = -10 \][/tex]

Agora, subtraindo a equação acima da equação que obtivemos anteriormente [tex]\( 10a + 18b = -1 \)[/tex]:

[tex]\[ (10a + 18b) - (5a + 10b) = -1 - (-10) \][/tex]

Simplificar:

[tex]\[ 5a + 8b = 9 \][/tex]

Agora, temos um sistema de duas equações:

[tex]\[ 10a + 18b = -1 \][/tex]

[tex]\[ 5a + 8b = 9 \][/tex]

Agora, podemos resolver este sistema de equações para encontrar os valores de 'a' e 'b':

Multiplicando a equação 2 por 2:

[tex]\[ 10a + 16b = 18 \][/tex]

Agora, subtraindo a equação 1 desta nova equação:

[tex]\[ (10a + 16b) - (10a + 18b) = 18 - (-1) \][/tex]

Simplificar:

[tex]\[ 2b = 19 \][/tex]

Agora, resolva para 'b':

[tex]\[ b = \frac{19}{2} \][/tex]

Agora, substituindo o valor de 'b' de volta na equação 1 para resolver para 'a':

[tex]\[ a + 2\left(\frac{19}{2}\right) = -2 \][/tex]

[tex]\[ a + 19 = -2 \][/tex]

[tex]\[ a = -2 - 19 \][/tex]

[tex]\[ a = -21 \][/tex]

Assim, os valores de 'a' e 'b' que tornam a função contínua e diferenciável são:

[tex]\[ a = -21 \][/tex]

[tex]\[ b = \frac{19}{2} \][/tex]

Agora, vamos verificar se as opções dadas estão corretas:

[tex]\[ a + 2b = -21 + 2\left(\frac{19}{2}\right) = -21 + 19 = 2 \][/tex]

[tex]\[ a - b = -21 - \frac{19}{2} = -\frac{42}{2} - \frac{19}{2} = -\frac{61}{2} \][/tex]

[tex]\[ \frac{b}{a} = \frac{\frac{19}{2}}{-21} = -\frac{19}{42} \][/tex]

[tex]\[ a \cdot b = (-21) \cdot \left(\frac{19}{2}\right) = -\frac{399}{2} \][/tex]

Agora, vamos comparar os resultados com as opções dadas:

[tex]\[ a + 2b = 2 \][/tex]

[tex]\[ a - b = -\frac{61}{2} \][/tex]

[tex]\[ \frac{b}{a} = -\frac{19}{42} \][/tex]

[tex]\[ a \cdot b = -\frac{399}{2} \][/tex]

A opção correta que corresponde a esses resultados é:

[tex]\[ \frac{b}{a} = -\frac{19}{42} \][/tex]

Então, a resposta correta é:

[tex]\[ c) \frac{b}{a} = -\frac{19}{42} \][/tex]

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