A partir dos devidos cálculos realizados, chegamos na conclusão de que temos 360 possibilidades, ou seja, são 360 anagramas.

Dado um número natural n, definimos o fatorial de n ( indicado por n! ) por meio das relações:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf Se~ n =0, \: 0! = 1 \\ \sf Se ~ n = 1, \: 1! = 1 \\ \sf n\geq 2, \: n! = n \cdot ( -1) \cdot (n-2)\cdot \:\dotso \: \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \end{cases} } $ }[/tex]

Pela definição, temos:

[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{n! \cdot (n-1) ! } $ } } \quad \Large \displaystyle \text { $ \mathsf{n \in \mathbb{N}^{\ast} } $ }[/tex]

Dado um conjunto com n elementos distintos chama-se permutação desses n elementos todo agrupamento ordenado ( sequência ) formado por n elementos.

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dotsb 2 \cdot 1 \quad isto ~ \acute{e}: } $ }[/tex]

[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ P_n = n! } $ } }[/tex]

Dados fornecidos pelo enunciado:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf P_n = \:? \\ \sf cartaz \\ \sf n = 6 \end{cases} } $ }[/tex]

Solução:

No entanto, na palavra CARTAZ existem letras repetidas. se todos os elementos fossem distintos, teríamos:

Pelo princípio fundamental da contagem, temos:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P_n = n! } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{P_6 = 6! } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{P_6 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{P_6 = 720 } $ }[/tex]

Devemos, entretanto, dividir esse número por 2! ( que é o número de permutações das letras A e A, porque não são distintas ).

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P^{2}_6 = \dfrac{6!}{2!} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P^{2}_6 = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \big/ \mkern -11mu 2!}{\big/ \mkern -11mu 2!} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P^{2}_6 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P^{2}_6 = 30 \cdot 12 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P^{2}_6 = 360 } $ }[/tex]

Portanto, temos 360 possibilidades, ou seja, são 360 anagramas.

Mais conhecimento acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/41354598

https://brainly.com.br/tarefa/54872748

https://brainly.com.br/tarefa/4718224

Resposta:

É possível formar 360 anagramas com a palavra cartaz.

Explicação:

A palavra "cartaz" possui 6 letras.

Há duas letras "a" na palavra.

Vamos calcular os anagramas considerando as letras repetidas:

- O número total de letras distintas é 6 (c, a, r, t, z).

- Portanto, temos 6! maneiras de organizar todas as letras distintas.

- No entanto, precisamos dividir pelo fatorial das repetições das letras iguais (2! para o "a").

4. Calculando:

[tex]\large{\boxed{\sf{\frac{6!}{(2! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1!)} = \frac{720}{2} = \boxed{\sf{360}}}}}[/tex]

Portanto, há 360 anagramas possíveis para a palavra "cartaz".