Para calcular o valor dessas integrais definidas, usamos as seguintes propriedades:

[tex]\begin{cases}\displaystyle \sf \int (u+v) dx =\int u dx +\int v dx \qquad (i)\\\\\\ \displaystyle \sf \int e^x = e^x \qquad (ii)\\\\\\ \displaystyle \sf \int cos(x)= sen(x)\qquad (iii)\\\\\\ \displaystyle \sf \int x^M=\dfrac{x^{M+1}}{M+1} \qquad (iv)\\\\\\ \displaystyle\sf\int sec^2(x)=tan(x)\qquad(v)\\\\\\ \displaystyle \sf\int A u dx = A\int u dx \qquad (vi)\\ \\ \\ \displaystyle \sf \int dx = x\qquad (vii) \end{cases}[/tex] tex]

A primeira integral definida que devemos resolver seria:

[tex]\displaystyle \sf \int ^2 _0 (x^2+5)^3 2x dx [/tex]

Essa integral pode ser resolvida por um método conhecido como método de substituição de variáveis se não me engano, o que seria feito é substituir alguma expressão que se repete muito em uma integral por qualquer variável, principalmente denominada pela letra u, ao realizar essa substituição obtemos uma integral muito mais simples.

Nós não vamos usar este método porque ele pode não ser ensinado ainda, então o que vamos fazer é aplicar algumas propriedades matemáticas como o binômio ao cubo e propriedades distributivas com nossa integral e assim obter uma integral muito mais simples.

O brinômio ao cubo é representado pela seguinte expressão: [tex]\sf \left(a + b\right)^3=a^3+3a^2b +3 ab^2+b^3[/tex]

Aplicando o binômio ao cubo em nossa integral e usando as propriedades distributivas vamos obter a expressão:

[tex]\displaystyle \sf \int ^2 _0 \left( x^{2\cdot3} + 3 x^{2\cdot 2}\cdot 5 + 3 \cdot 5^2 x^2+5^3\right)2x dx \\\\\\\displaystyle \sf \int ^2 _0 \left( x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^2+125\right)2x dx\\\\\\\displaystyle \sf \int ^2 _0 2x^7+30x^5+150x^3+250x[/tex]

Esta integral pela propriedade (i) pode ser simplificada como uma soma de integrais com os mesmos limites de integração:

[tex]\displaystyle \sf\left.\dfrac{2x^{7+1}}{7+1}+\dfrac{30x^{5+1}}{5+1}+\dfrac{150x^{3+1}}{3+1}+\dfrac{250x^{1+1}}{1+1}\right|^2 _0\\\\\\ \displaystyle \sf\left.\dfrac{x^{8}}{4}+5x^6+\dfrac{75x^{4}}{2}+125x^2\right|^2 _0\\\\\\ \displaystyle \sf \left[\dfrac{2^{8}}{4}+5(2)^6+\dfrac{75(2)^{4}}{2}+125(2)^2\right]-\left[\dfrac{0^{8}}{4}+5(0)^6+\dfrac{75(0)^{4}}{2}+125(0)^2\right]\\\\\\\\ \displaystyle \sf \dfrac{256}{4}+320+\dfrac{1200}{2}+500\\\\\\\\ \boxed{\sf 1484}[/tex]

A próxima integral é:

[tex]\displaystyle \sf \int^2_0 (x+cosx)dx[/tex]

Aplicando a propriedade (i), podemos ver que nossa integral pode ser reescrita como a seguinte soma de integrais:

[tex]\displaystyle \sf \int^2_0 x dx+\int^2_0 cosxdx\\\\\\ \rm{Pela~propriedade~(iii)~ e~(iv)~ temos~que:}\sf\quad \left,\dfrac{x^2}{2} + \sin{(x)} \right|^2_0\\\\\\ \left[\dfrac{2^2}{2}+\sin{(2)}\right]-\left[\dfrac{0^2}{2}-\sin{(0)}\right]\\\\\\ \sf \dfrac{4}{2}+ \sin{(2)}\quad \to \quad 2+\sin{(2)}[/tex]

A próxima integral é:

[tex]\displaystyle \sf \overset{\mathrm{(i)}}\Longleftrightarrow\int^1_0 (x^3-6x+8) dx\\\\\\ \displaystyle\sf\sf\int^1_0 x^3dx -\int^1_06xdx+\int^1_08dx[/tex]

Pela propriedade (iv), (vi) e (vii) temos a seguinte integral:

[tex] \displaystyle\sf\int^1_0 x^3 -\int^1_06xdx+8\int^1_0dx\\\\\\ \displaystyle\sf \left.\dfrac{x^4}{4}-3x^2+8x\right|^1_0\\\\\\\sf \dfrac{1^4}{4}-3\cdot 1^2+8\cdot1\\\\\\\sf \dfrac{1}{4} +5\\\\\\ \boxed{\sf\dfrac{21}{4}}[/tex]

Próxima integral:

[tex]\displaystyle\sf \int^{\frac{\pi}{4}}_0\sec^2x dx[/tex]

Pela propriedade (v) temos:

[tex]\displaystyle\sf \left.\tan{(x )}\right|^{\frac{\pi}{4}}_0\\\\\\ \sf \tan{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)} -\tan{(0)}\\\\\\ \boxed{\sf 1}[/tex]

A última integral é:

[tex]\displaystyle\sf \int^2_0 e^x dx[/tex]

Pela propriedade (ii) concluímos que a resposta é:

[tex]\displaystyle\sf \left. e^x \right|^2_0\\\\\\ \sf e^2-e^0\\\\\\\boxed{\sf e^2-1}[/tex]

Resposta:

a)

0  a 2 ∫ (x²+5)³ * 2x dx

u=x²+5   ==>du=2x dx

se x=2 ==>u=2²+5=9

se x=0 ==>u=5

5  a 9 ∫  u³ * 2x du/2x

5  a 9 ∫  u³  du

5 a 9 [ u⁴/4] =9⁴/4 -5⁴/4 =(9²/2-5²/2)*(9²/2+5²/2)

=(81/2-25/2)*((81/2+25/2)

=56/2 * 106/2 = 1484

b)

0  to 2 ∫ (x+cos(x))  dx

0  to 2 [ x²/2 + sen(x)]

=2²/2 +sen(2) -0 -sen(0)

=2 +sen(2) =2,9093

c)

0 a 1 ∫x³-6x+8 dx

0 a 1 [x⁴/4 -6x²/2+8x]

0 a 1 [x⁴/4 -3x²+8x]

=1/4-3+8= 5,25

d)

0  a pi/4 ∫ sec²(x) dx

faça u =tan(x)

==> du=(cos²(x)+sen²(x))/cos²(x) dx

##cos²(x)+sen²(x)=1

==> du=1/cos²(x) dx

==>du=sec²(x) dx

0  a pi/4 ∫ sec²(x) du/sec²(x)

0  a pi/4 ∫ du

0  a pi/4 [u]

como u= tan(x) , ficamos com:

0  a pi/4 [tan(x)]

=tan(pi/4) - tan(0)

=1 -0 = 1

e)

0 a 2  ∫ eˣ  dx

0 a 2 [eˣ]

=e² - e⁰

=e² -1