Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de derivação implícita que

[tex]\tt\dfrac{dy}{dt}\bigg|_{x=0}=\dfrac{3}{2}[/tex] ✅

Regras básicas de derivação

Derivada da constante

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\tt\dfrac{d}{dx}(k)=0\end{array}}[/tex]

Derivada da soma/ diferença

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\tt\dfrac{d}{dx}[f(x)\pm g(x)]=\dfrac{d}{dx}f(x)\pm\dfrac{d}{dx}g(x)\end{array}}[/tex]

Derivada do produto

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\tt\dfrac{d}{dx}[f(x)\cdot g(x)]=\dfrac{d}{dx}[f(x)]\cdot g(x)+f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}[g(x)]\end{array}}[/tex]

Derivada do quociente

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\tt\dfrac{d}{dx}\bigg[\dfrac{f(x)}{g(x)}\bigg]=\dfrac{\dfrac{d}{dx}f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}g(x)}{g(x)^2}\end{array}}[/tex]

Derivada da potência

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\tt\dfrac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\end{array}}[/tex]

Derivação implícita

Chama-se derivação implícita ao processo de encontrar a derivada de uma função através da derivação os dois membros  da função. Isso é extremamente útil porque não são todas as variáveis que conseguem ser deixada em função de outras.

Exemplo: A expressão xy²-tg(2y)=1 não pode ser expresso como uma função da variável y dependente da variável x.

✍️Vamos a resolução do exercício

Aqui vamos derivar os dois membros da igualdade em relação a t e depois utilizar a informação do exercício para descobrir  [tex]\tt\dfrac{dy}{dt}[/tex].

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf \dfrac{dx}{dt}\bigg|_{x=0}=1~~\dfrac{dy}{dt}=?\\\\\sf y^2-3xy+x^2=25\\\sf 2y\dfrac{dy}{dt}-\bigg(3y\dfrac{dx}{dt}+3x\dfrac{dy}{dt}\bigg)+2x\dfrac{dx}{dt}=0\\\\\sf 2y\dfrac{dy}{dt}-3y\dfrac{dx}{dt}-3x\dfrac{dy}{dt}+2x\dfrac{dx}{dt}=0\\\\\sf2y\dfrac{dy}{dt}-3x\dfrac{dy}{dt}=3y\dfrac{dx}{dt}-2x\dfrac{2x}{dt}\end{array}}[/tex]

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{dy}{dt}(2y-3x)=\dfrac{dx}{dt}(3y-2x)\\\\\sf\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{\dfrac{dx}{dt}(3y-2x)}{2y-3x}\\\\\sf\dfrac{dy}{dt}\bigg|_{x=0}=\dfrac{\dfrac{dx}{dt}\bigg|_{x=0}\cdot(3y-2x)}{2y-3x}\\\\\sf\dfrac{dy}{dt}\bigg|_{x=0}=\dfrac{1\cdot(3y-2\cdot0)}{2y-3\cdot0}\\\\\sf\dfrac{dy}{dt}\bigg|_{x=0}=\dfrac{3\bigg/\!\!\!\!y}{2\bigg/\!\!\!\!y}\\\\\sf\dfrac{dy}{dt}\bigg|_{x=0}=\dfrac{3}{2}\end{array}}[/tex]

Saiba mais em:

brainly.com.br/tarefa/57783273

brainly.com.br/tarefa/55047708

Dadas as variáveis "x" e "y", que são funções de uma variável "t" e estão relacionadas pela equação:

• y² - 3xy + x² = 25

Sabemos que a taxa de variação de "x" em relação a "t" é igual a 1 quando x = 0. Queremos determinar a taxa de variação de "y" em relação a "t" no mesmo instante.

Para fazer isso, vamos diferenciar implicitamente a equação em relação a "t".

Diferenciando ambos os lados em relação a "t", obtemos:

• 2yy' - 3(xy' + y) + 2xx' = 0

Agora, vamos substituir x = 0 e dy/dt = 1 nessa equação.

Quando x = 0, temos:

2yy' - 3(0 * y' + y * 1) + 2 * 0 * x' = 0

2yy' - 3y = 0

Quando dy/dt = 1, temos:

2y - 3 = 0

Resolvendo essa equação, encontramos o valor de "y":

2y = 3

y = 3/2

Portanto, a taxa de variação de "y" em relação a "t" no instante em que x = 0 é igual a 3/2.

Taxa de Variação:

A taxa de variação representa a medida de quanto uma determinada quantidade está mudando em relação a outra quantidade. Em termos matemáticos, a taxa de variação é calculada como a razão entre a mudança na variável dependente e a mudança na variável independente. Em outras palavras, é a relação entre a variação na quantidade que estamos observando e a variação na quantidade que está sendo considerada como referência.

Por exemplo, se estamos analisando a taxa de variação de uma função f(x) em relação a x, podemos calcular a diferença entre os valores de f(x) em dois pontos diferentes, dividida pela diferença correspondente nos valores de x. Essa razão nos dá a taxa de variação média entre os dois pontos.

A taxa de variação também pode ser calculada em um ponto específico, chamada de taxa de variação instantânea. Nesse caso, usamos o conceito de derivada para determinar a taxa de variação exata em um determinado ponto da função.

Em resumo, a taxa de variação mede a velocidade ou a inclinação com que uma quantidade está mudando em relação a outra quantidade. Ela descreve a relação entre as mudanças nas variáveis envolvidas e é fundamental em diversos campos da matemática e das ciências naturais.

Saiba mais:

https://brainly.com.br/tarefa/54949185

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