Resposta:

[tex]S = \left\{1, 2, 3\right\}.[/tex]

Explicação passo a passo:

Dada a seguinte equação polinomial de terceiro grau:

[tex]x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0,[/tex]

encontremos suas raízes, sabendo que estão em progressão aritmética.

Sejam [tex]a_1[/tex], [tex]a_1 + r[/tex] e [tex]a_1 + 2r[/tex] suas três raízes em ordem crescente (ou seja, [tex]r \geq 0).[/tex]

Temos:

[tex]x^3 -6x^2 + 11x - 6 = 0\\\\\\\Longleftrightarrow\left(x - a_1\right) \cdot \left[x - \left(a_1 + r\right)\right] \cdot \left[x - \left(a_1 + 2r\right)\right] = 0\\\\\\\Longleftrightarrow \left[x^2 -\left(2a_1+r\right)x + \left(a_1^2 + a_1r\right)\right] \cdot \left[x - \left(a_1 + 2r\right)\right] = 0\\\\\\\Longleftrightarrow x^3 -\left(3a_1+3_r\right)x^2 + \left(3a_1^2+6a_1r+2r^2\right)x - \left(a_1^2 + a_1r\right)\left(a_1 + 2r\right) = 0[/tex]

Igualemos os coeficientes de [tex]x^2[/tex] da equação original e da equação acima:

[tex]-\left(3a_1+3r\right) = -6\\\\\Longleftrightarrow a_1 + r = 2\\\\\Longleftrightarrow a_1 = 2 - r[/tex]

Igualemos os coeficientes de [tex]x[/tex]:

[tex]3a_1^2 + 6a_1r + 2r^2 = 11\\\\\Longleftrightarrow 3\left(2-r\right)^2 + 6r\left(2-r\right) + 2r^2 - 11 = 0\\\\\Longleftrightarrow 12 - 12r + 3r^2 + 12r - 6r^2 + 2r^2 - 11 = 0\\\\\Longleftrightarrow -r^2+1 = 0\\\\\Longleftrightarrow r^2 = 1\\\\\Longleftrightarrow r = \pm \sqrt{1}\\\\\Longleftrightarrow r = \pm 1[/tex]

Como, por hipótese, [tex]r > 0,[/tex] temos que [tex]r = 1.[/tex]

Calculemos as raízes da equação:

[tex]a_1 = 2 - r = 2 - 1 = 1;\\\\a_2 = a_1 + r = 1 + 1 = 2;\\\\a_3 = a_1 + 2r = 1 + 2 = 3.[/tex]