Sabendo que 2+i, 2-i e -3 são as raizes da equação x³-x²-7x+15=0, fatore o polinomio dado em outros dois polinomios com coeficientes reais, um com grau 2 e outro com grau 1.
Veja, Dani, que a resolução é simples. Lembre-se que toda equação do 3º grau, da forma: ax³ + bx² + cx + d = 0, com raízes iguais a x'; x'' e x''', poderá ser simplificada em função de suas raízes da seguinte forma:
ax³ + bx² + cx + d = a*(x-x')*(x-x'')*(x-x''').
Assim, tendo, portanto, a relação acima como parâmetro, então a equação do terceiro grau da sua questão poderá ser simplificada em função das raízes que são: "2+i", "2-i" e "-3". Assim, teremos que:
x³ - x² - 7x + 15 = [x²-2x+xi-2x+xi+(4+1)]*(x+3) x³ - x² - 7x + 15 = [x²-2x+xi-2x+xi+5]*(x+3) --- reduzindo os termos semelhantes: x³ - x² - 7x + 15 = [x²-4x+5]*(x+3) --- ou apenas: x³ - x² - 7x + 15 = (x²-4x+5)*(x+3) <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a forma simplificada da sua questão, conforme foi pedido (um polinômio do 2º grau e outro do primeiro grau).
Perceba que nesse polinômio se x = r1 a primeira parte vai zerar e consequentemente o polinômio vai dar 0. Se x = r2 ou x = r3 o polinômio vai zerar pelo mesmo motivo
__________
Como as raízes são conhecidas, vamos coloca-las na equação
Observe que o polinômio de grau um já está ali no canto direito. O polinômio de grau dois vamos obter multiplicando os dois primeiro fatores
Podemos conferir se a fatoração foi correta fazendo a distributiva
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Vamos lá.Veja, Dani, que a resolução é simples.
Lembre-se que toda equação do 3º grau, da forma: ax³ + bx² + cx + d = 0, com raízes iguais a x'; x'' e x''', poderá ser simplificada em função de suas raízes da seguinte forma:
ax³ + bx² + cx + d = a*(x-x')*(x-x'')*(x-x''').
Assim, tendo, portanto, a relação acima como parâmetro, então a equação do terceiro grau da sua questão poderá ser simplificada em função das raízes que são: "2+i", "2-i" e "-3". Assim, teremos que:
x³ - x² - 7x + 15 = 1*[x-(2+i)]*[x-(2-i])*(x-(-3)) ---- desenvolvendo, teremos:
x³ - x² - 7x + 15 = [x²-x*(2-i)-(2+i)*x+(4-i²)]*(x+3) --- continuando, temos (lembre-se que i² = - 1):
x³ - x² - 7x + 15 = [x²-2x+xi-2x+xi+(4+1)]*(x+3)
x³ - x² - 7x + 15 = [x²-2x+xi-2x+xi+5]*(x+3) --- reduzindo os termos semelhantes:
x³ - x² - 7x + 15 = [x²-4x+5]*(x+3) --- ou apenas:
x³ - x² - 7x + 15 = (x²-4x+5)*(x+3) <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a forma simplificada da sua questão, conforme foi pedido (um polinômio do 2º grau e outro do primeiro grau).
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
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Podemos escrever o polinômio dessa forma
Perceba que nesse polinômio se x = r1 a primeira parte vai zerar e consequentemente o polinômio vai dar 0. Se x = r2 ou x = r3 o polinômio vai zerar pelo mesmo motivo
__________
Como as raízes são conhecidas, vamos coloca-las na equação
Observe que o polinômio de grau um já está ali no canto direito. O polinômio de grau dois vamos obter multiplicando os dois primeiro fatores
Podemos conferir se a fatoração foi correta fazendo a distributiva
Pode ver que o polinômio é o mesmo do exercício
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Bons estudos! :)