Se A é uma matriz quadrada invertivel tal que 
( ou seja, sua inversa é igual a sua transposta), prove que det A =1 ou det A=-1.
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BlackShot
May 2020 | 0 Respostas
(ENEM) Quando se dá uma pedalada na bicicleta abaixo (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de uma circunferência de raio R é igual a 2R, onde = 3.R.: aproximadamente 7,2 metros.IMAGEM:
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Vamos lá.Veja,Dani, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para provar que se uma matriz quadrada invertível , tal que:
A⁻¹ = A ͭ ---- Ou seja, tal que sua matriz inversa seja igual à sua matriz composta, então det(A) será igual a ± 1.
ii) Veja: vamos chamar a matriz da seguinte forma:
A = |a.....b|
......|c.....d|
E a sua transposta será esta:
A ͭ = |a.....c|
........|b.....d| ---- veja: basta trocar as linhas pelas colunas da matriz A.
iii) Agora vamos representar a matriz inversa de A como sendo esta ("1" dividido pela matriz "A"):
A⁻¹ = 1/|a.....b|
............|c.....d|
iv) Então vamos tomar a matriz inversa como acima representamos e vamos igualar à matriz transposta. Assim, ficaremos:
1/|a.....b| = |a.....c|
...|c.....d|....|b.....d| ----- multiplicando-se em cruz, teremos;
1 = |a.....b|*|a.....c|
......|c.....d|*|b.....d| ---- desenvolvendo este produto, teremos
1 = |a²+b²......ac+bd|
......|ac+bd.....c²+d²| ----- ou, invertendo-se a igualdade, o que dá no mesmo, ficaremos assim:
|a²+b²......ac+bd| = 1
|ac+bd.....c²+d²|
Desenvolvendo para encontrar o determinante (d), teremos:
(a²+b²)*(c²+d²) - (ac+bd)*(ac+bd) = 1 ----- note que isto é a mesma coisa que:
(a²+b²)*(c²+d²) - (ac+bd)² = 1 ---- agora, sim, vamos desenvolver, ficando:
a²c²+a²d²+b²c²+b²d² - (a²c²+2abcd+b²d²) = 1 --- retirando-se os parênteses, teremos:
a²c² + a²d² + b²c² + b²d² - a²c² - 2abcd - b²d² = 1 --- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:
a²d² + b²c² - 2abcd = 1 --- note que o que temos no 1º membro é a mesma coisa que:
(ad-bc)² = 1 ---- agora, isolando (ad-bc), teremos isto:
ad-bc = ± √(1) ----- como √(1) = 1, teremos:
ad-bc = ± 1 <--- Pronto. Está provado que o determinante, no caso específico da sua questão, é, realmente igual a mais ou menos "1".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
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Como a matriz transposta de A é também a sua inversa, podemos escrever:Então, em termos de determinante:
Usando que
Além disso, podemos usar que
Como queríamos demonstrar.