Verified answer

Vamos lá.

Veja, Dani, que a resolução, embora simples, é um pouco trabalhosa.
Pede-se para determinar os valores de "a", "b", "c" e "d" sabendo-se que:

p₁(x) = x⁴+ 0x³ + ax² + 0x + b, quando dividido por p₂(x) = x²+2x+4, deixa resto zero (ou seja, a divisão é exata). Veja que completamos com zeros os coeficientes faltantes de p₁(x) e p₃(x) = x³ + cx² + dx - 3, quando dividido por p₄(x) = x²-x+2, deixa resto igual a "-5".

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos dividir, diretamente, p₁(x) por p₂(x). Assim, teremos:

x⁴ + 0x³ + ax² + 0x + b |_x²+2x+4_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x² - 2x + a <--- quociente
-x⁴-2x³ - 4x²
---------------------------
0 - 2x³+ax²-4x² + 0x + b --- vamos pôr x² em evidência. Logo:
-2x³ + (a-4)x² + 0x + b
+2x³ + 4x² + 8x
------------------------------
0 +(a-4)x²+4x² + 8x + b --- vamos pôr x² em evidência novamente. Logo:
(a-4+4)x² + 8x + b ----- reduzindo os termos semelhantes, ficamos:
ax² + 8x + b
-ax²-2ax-4a
----------------------
0 + 8x-2ax - 4a + b <--- como o resto já está com o grau menor que o divisor, então paramos aqui e igualamos este resto a zero, pois, conforme o enunciado da questão, a divisão é exata (deixa resto zero). Assim:
8x - 2ax - 4a + b = 0  --- colocando-se "x" em evidência, temos:
(8-2a)x - 4a + b = 0     . (I)  <---Vamos deixar esta expressão aqui "guardadinha", pois poderemos precisar dela daqui a pouco (talvez nem precisemos,pois é possível que encontremos os valores de "a", "b", "c" e "d" sem nem necessitar desta expressão. Mas não custa deixá-la "guardadinha" aqui).

ii) Vamos dividir, diretamente, p₃(x) por p₄(x). Assim:

x³ + cx² + dx - 3 |_x²-x+2_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . x + (c+1) <--- quociente
-x³+x² - 2x
----------------------
0+cx²+x² + dx-2x - 3 --- vamos colocar "x²" e "x" em evidência, ficando:
(c+1)x² + (d-2)x - 3
-(c+1)x² + (c+1)x - 2*(c+1) - 3
-------------------------------------------
....0 + (c+1)x+(d-2)x - (2c+2) - 3 ---- vamos pôr "x" em evidência, ficando:
+(c+1+d-2)x - (2c+2) - 3 --- reduzindo os termos semelhantes, temos;
+(c+d-1)x - (2c+2) - 3 ---- como chegamos a um grau menor do que o do divisor, então paramos aqui e igualaremos este resto a "-5", pois está informado no enunciado que a divisão de p₃(x) por p₄(x) deixa resto igual a "-5". Assim:
(c+d-1)x - (2c+2) - 3 = - 5 ----- ou apenas:
(c+d-1)x - 2c-2 - 3 = - 5 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos;
(c+d-1)x - 2c - 5 = - 5 ---- passando "-5" para o 2º membro, teremos:
(c+d-1)x - 2c = -5+5
(c+d-1)x - 2c = 0      . (II)

iii)) Agora note uma coisa importante: todo dividendo (D) é igual ao divisor (d) vezes o quociente (q) MAIS o resto (R). Ou seja, temos isto:  d*q + R = D.
Então, tomando-se o divisor da divisão de  p₁(x) por p₂(x) vezes o seu respectivo quociente mais o resto (que é zero), obteremos o dividendo. Então teremos isto: 

(x²+2x+4)*(x² - 2x + a)+0 = x⁴ + 0x³ + ax² + 0x + b --- efetuando o produto:

x⁴-2x³+ax²+2x³-4x²+2ax+4x²-8x+4a = x⁴+0x³+ax²+0x+b --- reduzindo os termos semelhantes, temos:

x⁴ + ax² + (2a-8)x + 4a = x⁴+0x³+ax²+0x+b --- agora fazemos a comparação de cada coeficiente do primeiro membro com os respectivos coeficientes do 2º membro, com o que ficaremos assim:

2a-8 = 0 ---> 2a = 8 ---> a = 8/2 ---> a = 4 <-- Este é o valor de "a".

4a = b ---- como "a" = 4, então temos que: 4*4 = b ---> 16 = b ---> b = 16 <--- Este é o valor de "b".