Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Neste sentido, assinale a alternativa que indica a derivada da função f(x) = In(sen(3x)).
Alternativas
Alternativa 1:f'(x) = 3 tg(3x)
Alternativa 2:f'(x) = 3 cos(3x)
Alternativa 3:f'(x) = 3 sen(3x)
Alternativa 4:f'(x) = 3 cotg(3x)
Alternativa 5:f'(x) = (3 cos(x))/(sen(x)).
Alternativas
Alternativa 1:f'(x) = 3 tg(3x)
Alternativa 2:f'(x) = 3 cos(3x)
Alternativa 3:f'(x) = 3 sen(3x)
Alternativa 4:f'(x) = 3 cotg(3x)
Alternativa 5:f'(x) = (3 cos(x))/(sen(x)).
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Lista de comentários
A alternativa correta para a derivada de f(x) = ln(sen(3x)) utilizando a regra da cadeia será:
A Alternativa 4:f'(x) = 3 cotg(3x)
Calculo da derivada:
Primeiro nós aplicamos a derivada na equação em questão:
f'(x) = (ln(sen(3x)))'
Em seguida, utlizando as derivadas triviais e a regra da cadeia, que consiste em fazer a derivada da função externa, vezes a derivada da função interna, onde g(x) = ln(x) seria a função externa e h(x) = sen(3x) a função interna, assim teremos:
[tex]f'(x) = \frac{1}{sen(3x)} *[sen(3x)]'[/tex]
Agora faremos uso novamente da regra da cadeia na segunda parcela da nossa equção, visto que agora h(x) = sen(x) é a função externa e i(x) = 3x seria a função interna, com isso:
[tex]f'(x) = \frac{1}{sen(3x)} *[cos(3x)*(3x)'\:] = \frac{1}{sen(3x)} *[cos(3x)*3][/tex]
Reorganizando a equação, teremos:
[tex]f'(x) = 3* \frac{cos(3x)}{sen(3x)}[/tex]
Sabemos através das proriedades das funções trigonométricas que cos(x)/sen(x) = cotg(x), assim obtemos:
[tex]f'(x) = 3* cotg(3x)[/tex]
Assim temos que a deriavada da função f(x) = ln(sen(3x)) é f'(x) = 3 cotg(3x). Referente a Alternativa 4.
Entenda mais sobre regra da cadeia aqui: https://brainly.com.br/tarefa/52097574
#SPJ1
✅ Após finalizar os cálculos, concluímos que a derivada de primeira ordem da referida função é:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} f'(x) = 3\cot(3x)\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, a opção correta é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa\:4\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Seja a função dada:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = \ln\left[\sin(3x)\right]\end{gathered}$}[/tex]
Antes de iniciar o processo de derivação devemos atentar para as seguintes regras de derivações:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se} ~f(x) = \sin(x) \Longrightarrow f'(x) = \cos(x)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}~f(x) = x^n\Longrightarrow f'(x) = n\cdot x^{n - 1}\end{gathered}$}[/tex]
Se:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = g(h(x))\end{gathered}$}[/tex]
Então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f'(x) = g'(h(x))\cdot h'(x)\end{gathered}$}[/tex]
Agora realizar a derivação da função. Então, fazemos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}f'(x) & = \{\ln\left[\sin(3x)\right]\}'\\& = \frac{1}{\sin(3x)}\cdot\left[\sin(3x)\right]'\\& = \frac{1}{\sin(3x)}\cdot\cos(3x)\cdot(3x)'\\& = \frac{1}{\sin(3x)}\cdot\cos(3x)\cdot1\cdot3\cdot x^{1 - 1}\\& = \frac{1}{\sin(3x)}\cdot\cos(3x)\cdot1\cdot3\cdot x^0\\& = \frac{1}{\sin(3x)}\cdot\cos(3x)\cdot1\cdot3\cdot 1\\& = 3\cdot\frac{\cos(3x)}{\sin(3x)}\\& = 3\cot(3x)\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto, o resultado é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f'(x) = 3\cot(3x)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]