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Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que vamos realizar, podemos mostrar que a fórmula binomial de Newton é verdadeira ∀ n ∈ N, ou seja, é verdadeira para todos os n inteiros não negativos.

Queremos provar a fórmula binômio de Newton usando a técnica de princípio indução finita, o binômio de Newton é escrito como:

[tex]\displaystyle (x+y)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k[/tex]

Para provar esta fórmula pelo princípio da indução finita devemos levar em conta nosso primeiro passo isso é encontrar uma base de indução. Veremos que a preposição é cumprida para um valor específico de n, neste caso vamos assumir o menor valor que n pode ter e esse menor valor é 0, então vamos mostrar que a fórmula para n=0 é cumprida

[tex]\displaystyle (x+y)^0= \sum_{k=0}^0 \binom{0}{k}x^{0-k}y^k\\\\\\ \displaystyle (x+y)^0= \binom{0}{0}x^{0-0}y^0\\\\\\ \displaystyle (x+y)^0=\dfrac{0!}{0!\cdot (0-0)!} x^0 y^0 \\\\\\ \displaystyle 1=1[/tex]

Vemos que nossa base indutiva está cumprida, então o que segue é nossa hipótese indutiva, para isso vamos supor que nossa fórmula está cumprida para n ∈ N fixo.

[tex]\displaystyle (x+y)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k\qquad \rm{(i)}\\[/tex]

Se assumirmos que esta fórmula é verdadeira para um valor fixo de n, então devemos ver se é verdadeira para n+1, então o que vamos provar é este binômio:

[tex]\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}x^{n+1-k}y^k\qquad \rm{(ii)}[/tex]

Vamos provar que nosso binômio é igual a essa soma, para fazer essa prova vamos usar nossa hipótese indutiva, mas para usar essa hipótese indutiva com nosso binômio devemos simplificar esse binômio aplicando algumas propriedades matemáticas. Para simplificar este binômio vamos aplicar a seguinte propriedade como auxílio: [tex]\boxed{\bf a^n\cdot a^m= a^{n+m}}[/tex]

Então aplicando esta propriedade temos:

[tex](x+y)^1\cdot(x+ y)^n \\\\\\ (x+y)\cdot (x+y)^n\qquad \rm{(iii)}[/tex]

Vamos usar nossa base indutiva para poder mostrar que (iii) é igual a (ii), então vamos substituir (i) em (iii) e assim obter:

[tex] \displaystyle (x+y)\cdot \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k\\\\\ \displaystyle x \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k + y \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k\\\\\\ \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n+1-k}y^k +\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k} y^{k+1}\qquad \rm{(iv)}[/tex]

Observe que a primeira soma da expressão (iv) é idêntica à soma da expressão que queremos chegar, ou seja, a soma da expressão (iv) é idêntica à soma da expressão (iii) apenas por causa da diferença do coeficiente pois na expressão original temos n+1 e não n.

Para tornar (iv) idêntico a (iii) vamos ter que somar os dois somatórios, para somar os dois somatórios devemos ter o mesmo índice e os mesmos expoentes, vemos que os expoentes de ambas as somas não são iguais mas os índices são igual, para igualar os coeficientes vamos aplicar algumas propriedades das somas, primeiro vamos mudar o índice da segunda soma de (iv) para isso vamos mudar o índice de onde começamos que é igual a 0 para 1 e para fazer isso devemos subtrair 1 de todos os k.

[tex] \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n+1-k}y^k +\sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1}x^{n-(k-1)} y^{k+1-1} \\ \\ \\ \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n+1-k}y^k +\sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1}x^{n + 1 - k} y^{k}[/tex]

Vemos que os coeficientes são os mesmos, mas não os índices, pois na primeira soma estamos começando por n=0 e na segunda estamos começando por n=1, então vamos expandir o primeiro termo da soma 1 e assim obter:

[tex] \displaystyle \binom{n}{0} x^{n+1-0}y^0+\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}x^{n+1}y^k +\sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1}x^{n + 1 - k} y^{k}\\\\\\ \displaystyle x^{n+1}+\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}x^{n+1-k}y^k +\sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1}x^{n + 1 - k} y^{k}\\\\\\ x^{n+1}+\sum_{k=1}^n\left[\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right]x^{n+1-k}y^k [/tex]

• Expandindo esta expressão temos:

[tex] x^{n+1}+\sum_{k=1}^n\binom{n+1}{k+1-1}x^{n+1-k} y^k\\\\\\ \displaystyle x^{n+1}+\sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k}x^{n+1-k}y^k\qquad\rm{(v)} [/tex]

Vemos que a expressão (v) é idêntica à expressão (ii), apenas pela diferença que na soma temos n+1 e fora isso o índice é igual a 0, mas vamos dar uma boa olhada no primeiro termo que desenvolvemos a partir da soma, esse termo pode ser escrito como:

[tex] \displaystyle\binom{n+1}{0} x^{n+1}+\sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k}x^{n+1-k}y^k \\\\\\\displaystyle \boxed{\bf Ent\tilde{a}o:~\sf\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}x^{n+1-k}y^k,~verdadeiro~ \forall n\in\mathbb{N}}~\checkmark [/tex]

Portanto, a fórmula é verdadeira para todos os valores inteiros não negativos de n.