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Demonstração:

Verifiquemos, inicialmente, se a propriedade é válida para [tex]n = 1[/tex]:

[tex]1\,.\,2^1 = 2 + (1 - 1)\,.\,2^{1+1}\\\\1\,.\,2 = 2 + 0\,.\,4\\\\2 = 2[/tex]

Assim, [tex]p(1)[/tex] é válida.

Em seguida, admitamos, por hipótese, [tex]p(k)[/tex], isto é:

[tex]1\,.\,2+2\,.\,2^2+3\,.\,2^3+...+k\,.\,2^k = 2 +(k-1)\,.\,2^{k+1}[/tex]

para algum [tex]k[/tex] genérico, [tex]k \geq 1.[/tex]

Verifiquemos, por fim, se [tex]p(k)[/tex] implica [tex]p(k+1):[/tex]

Tese:

[tex]1\,.\,2+2\,.\,2^2+3\,.\,2^3+...+k\,.\,2^k + (k+1)\,.\,2^{k+1} = 2 +[(k+1)-1]\,.\,2^{(k+1)+1}[/tex]

[tex]1\,.\,2+2\,.\,2^2+3\,.\,2^3+...+k\,.\,2^k + (k+1)\,.\,2^{k+1} = \\\\= 2 + (k-1)\,.\,2^{k+1} + (k+1)\,.\,2^{k+1}\\\\= 2 + 2^{k+1}(k-1+k+1)\\\\= 2 + 2^{k+1}(2k)\\\\= 2 + k\,.\,2^{k+2}\\\\= 2 + [(k+1)-1]\,.\,2^{(k+1)+1}[/tex]

Portanto,

[tex]p(1);[/tex]

[tex]p(k)[/tex], [tex]k \geq 1[/tex] ⇒ [tex]p(k+1);[/tex]

donde se infere que [tex]p(n)[/tex] é válida, ∀ [tex]n[/tex] ∈ N.

Caso base: [tex]p(1)[/tex] :

[tex]p(1) = 2+ (1-1) \cdot 2^{1+1}\\p(1) = 2[/tex]

Hipótese de indução: supor que [tex]p(k)[/tex] é válido, para um [tex]k[/tex] inteiro [tex]k \geq 1[/tex], ou seja:
[tex]1\cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + k \cdot 2^k = 2 + (k-1) \cdot 2^{k+1}[/tex]

Passo indutivo: demonstrar que também é válido para [tex]p(k+1)[/tex], e que [tex]p(k) \Longrightarrow p(k+1)[/tex] :

[tex]p(k+1) = 1\cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + k \cdot 2^k + (k+1) \cdot 2^{k+1}[/tex]

Que, pela hipótese, nos permite reescrever os termos iniciais por termos de [tex]p(k)[/tex]:

[tex]p(k+1) = 2 + (k-1) \cdot 2^{k+1} + (k+1) \cdot 2^{k+1}\\p(k+1) = 2 + (k-1 + k + 1) \cdot 2^{k+1}\\p(k+1) = 2 + 2k \cdot 2^{k+1}\\p(k+1) = 2 + k \cdot 2^{k+2}\\p(k+1) = 2 + ((k+1) - 1) \cdot 2^{(k+1)+1}[/tex]

O que é válido.

Como a proposição é válida para [tex]k=1[/tex], e como dado um [tex]k[/tex] qualquer [tex]k+1[/tex] também é válido, se pode afirmar que vale para todos os naturais.