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Caso base [tex]n = 1[/tex] :
[tex]2^{3 \cdot 1 - 1} + 3^{6 \cdot 1 - 5}\\ = 2^2 + 3^1 \\= 7\\7 \mid 7[/tex]

[tex]n = 1[/tex] é válido, então [tex]A[/tex] possui pelo menos um elemento.

Hipótese de indução: suponha que dado um [tex]k[/tex] qualquer, vale [tex]7 \mid 2^{3k - 1} + 3^{6k - 5}[/tex]

Passo indutivo: provar que vale também para [tex]k+1[/tex] :

[tex]2^{3 \cdot (k+1) - 1} + 3^{6 \cdot (k+1) - 5}\\=2^{3k + 3 - 1} + 3^{6k + 6 - 5}\\= 2^{3k-1} \cdot 2^3 + 3^{6k-5} \cdot 3^6\\= 2^{3k-1} \cdot 2^3 + 3^{6k-5} \cdot 3^6 + 2^3 \cdot 3^{6k-5} - 2^3 \cdot 3^{6k-5}\\= 2^3(2^{3k-1} + 3^{6k-5}) + 3^{6k-5} (3^6 - 2^3)[/tex]

Que, de acordo com a hipótese, nos permite reescrever a expressão acima como:
[tex]= 2^3 \cdot 7q + 3^{6k-5} \cdot 721\\= 2^3 \cdot 7q + 3^{6k-5} \cdot 7 \cdot 103\\= 7(2^3 \cdot q + 3^{6k-5} \cdot 103)\\\\7 \mid 2^{3 \cdot (k+1) - 1} + 3^{6 \cdot (k+1) - 5}[/tex]

Provada a existência de pelo menos um elemento em [tex]A[/tex], e que [tex]k \in A \Longrightarrow k + 1 \in A[/tex], então qualquer valor natural de [tex]k[/tex] é válido, ou seja, [tex]A = \mathbb{N}[/tex].

Demonstração:

Verifiquemos, inicialmente, se a propriedade é válida para [tex]n = 1[/tex]:

[tex]7\,|\,2^{3\,.\,1-1}+3^{6\,.\,1-5}\\\\7\,|\,2^2 + 3^1 \\\\7\,|\,7.[/tex]

Como [tex]p(1)[/tex], [tex]1[/tex] ∈ [tex]A[/tex].

Admitamos [tex]p(k)[/tex] por hipótese, isto é:

[tex]7\,|\,2^{3k-1} + 3^{6k-5}[/tex]

para um [tex]k[/tex] genérico tal que [tex]k \geq 1[/tex].

Verifiquemos, por fim, se [tex]p(k)[/tex] implica [tex]p(k+1):[/tex]

[tex]7\,|\,2^{3(k+1)-1}+3^{6(k+1)-5}\\\\7\,|\,2^{3k+2}+3^{6k+1}\\\\7\,|\,2^{3}\,.\,2^{3k-1} + 3^6\,.\,3^{6k-5}\\\\7\,|\,2^{3}\,.\,2^{3k-1} + 3^6\,.\,3^{6k-5} + 3^6\,.\,2^{3k-1} - 3^6\,.\,2^{3k-1}\\\\7\,|\,3^6(2^{3k-1} + 3^{6k-5}) +2^{3k-1}(2^3-3^6).[/tex]

Notemos que [tex]2^{3k-1} + 3^{6k-5}[/tex] é múltiplo de 7 (hipótese de indução). Chamemo-lo, pois, de [tex]7q[/tex]. Assim:

[tex]7\,|\,3^6\,.\,7q + 2^{3k-1}(-721)\\\\7\,|\,7(q\,.\,3^6 - 103\,.\,2^{3k-1})[/tex]

donde se infere [tex]p(k+1)[/tex].

Em resumo:

[tex]1[/tex] ∈ A;

[tex]k[/tex] ∈ A, [tex]k \geq 1[/tex] ⇒ k + 1 ∈ A;

⇔ A = N.