Lista de exercícios - VIII UFRN
Professor: David Zavaleta Villanueva
2)Encontre as equações das retas tangentes ao gráfico das funções,
nos pontos dados:
B) [tex]Y=\sqrt{x+2}+3~~~X_0=2[/tex]
Professor: David Zavaleta Villanueva
2)Encontre as equações das retas tangentes ao gráfico das funções,
nos pontos dados:
B) [tex]Y=\sqrt{x+2}+3~~~X_0=2[/tex]
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Lista de comentários
Usando a equação fundamental da reta podemos concluir que a reta tangente a função [tex]Y=\sqrt{x+2}+3[/tex] no ponto [tex]X_0=2[/tex] é
[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{Y=\dfrac{x}{4}+\frac{9}{2} }}$}[/tex]
Mas, como chegamos nessa conclusão?
Temos que encontrar a reta tangente da seguinte função
[tex]Y=\sqrt{x+2}+3[/tex]
Para encontrar a reta tangente usamos a equação fundamental da reta
O primeiro passo é achar o ponto [tex]\left(X_0, Y_0\right)[/tex]. Perceba que a questão nos da o [tex]x_0[/tex] mas não da o [tex]y_0[/tex], então temos que descobrir o seu valor
Como ja temos o [tex]x_0[/tex] basta substituirmos na função e acharemos o [tex]y_0[/tex]
[tex]Y=\sqrt{x+2}+3~~ ~X_0=2[/tex]
[tex]Y=\sqrt{2+2}+3\\\\Y=\sqrt{4}+3\\ \\Y=2+3\\\\Y=\boxed{5}[/tex]
Agora que temos os pontos [tex]\left(X_0, Y_0\right)\Rightarrow (2,5)[/tex] Basta acharmos o M que é o Coeficiente angular da reta
[tex]\boxed{M=F'(X_0)}[/tex]
Para acharmos o coeficiente angular da reta Vamos ter que derivar a função e em seguida substituir X por [tex]x_0[/tex] para isso vamos relembrar algumas regras da derivação
[tex]\boxed{\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}=\dfrac{dy}{dx} }[/tex]
[tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx} \left(\sqrt{x}\right) =\dfrac{1}{2\sqrt{x} } }[/tex]
[tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(X^C\right)=C\cdot X^{C-1} }[/tex]
[tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(C\right)=0 }[/tex]
Com isso em mente vamos derivar a função e ao derivarmos substituiremos X por 2, para achar a inclinação da reta
[tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx} \left(\sqrt{x+2}+3\right)\Rightarrow\dfrac{dy}{dx} \left(\sqrt{x+2}\right)+\dfrac{dy}{dx}(3)\Rightarrow $}[/tex]
[tex]\large\text{$\dfrac{dy}{du} \left(\sqrt{u}\right)\cdot \dfrac{du}{dx}\left(x+2\right) +0\Rightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 1\Rightarrow \boxed{\dfrac{1}{2\sqrt{x+2} }} $}[/tex]
Agora que achamos a derivada vamos substituir X por 2
[tex]\large\text{$\dfrac{1}{2\sqrt{x+2} } \Rightarrow \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{2+2} }\Rightarrow \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{4} } \Rightarrow \boxed{\dfrac{1}{4}} $}[/tex]
Assim concluímos que o coeficiente angular da tangente é [tex]\dfrac{1}{4}[/tex]
[tex]\boxed{M=\dfrac{1}{4} }[/tex]
Com isso basta substituirmos na equação fundamental da reta e acharmos a nossa reta tangente
[tex]\large\text{$Y-Y_0=M\cdot \left(X-X_0\right)$}\\\\\\\large\text{$Y-5=\dfrac{1}{4} \cdot \left(X-2\right)$}\\\\\\\large\text{$Y-5=\dfrac{x}{4}-\dfrac{2}{4} $}\\\\\\\large\text{$Y=\dfrac{x}{4}-\dfrac{2}{4}+5 $}\\\\\\\large\text{$\boxed{Y=\dfrac{x}{4}+\dfrac{9}{2} } $}[/tex]
Assim encontramos nossa reta tangente
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente à curva da referida função passando pelo referido ponto de tangência "T" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = \frac{x}{4} + \frac{18}{4}\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Seja a função:
[tex]\Large\begin{cases} y = \sqrt{x + 2} + 3\\x_{0} = 2\end{cases}[/tex]
Sabendo que "y = f(x)" e que x0 é a abscissa do ponto de tangência "T" então, podemos reescrever os dados como:
[tex]\Large\begin{cases} f(x) = \sqrt{x + 2} + 3\\x_{T} = 2\end{cases}[/tex]
Para montarmos a equação da reta "t" tangente ao gráfico da referida função, passando pelo ponto de tangência "T", podemos utilizar a fórmula do ponto/declividade, ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$}[/tex]
Sabendo que o coeficiente angular da reta tangente é numericamente igual à primeira derivada da função no ponto de abscissa "Xt", ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{T})\end{gathered}$}[/tex]
Além disso, sabemos também que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo "II" e "III" em "I", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo os dados na equação "IV", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - (\sqrt{2 + 2} + 3) = \frac{1}{2}\cdot(2 + 2)^{\frac{1}{2} - 1}\cdot(x - 2)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y- (\sqrt{4} + 3) = \frac{1}{2}\cdot(2 + 2)^{-\frac{1}{2}}\cdot(x - 2)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - (2 + 3) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(2 + 2)^{\frac{1}{2}}}\cdot(x - 2)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 5 = \frac{1}{2\sqrt{2 + 2}}\cdot(x - 2)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 5 = \frac{1}{2\sqrt{4}}\cdot(x - 2)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 5 = \frac{1}{2\cdot2}\cdot(x - 2)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 5 = \frac{1}{4}\cdot(x - 2)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf V\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 5 = \frac{x}{4} - \frac{2}{4}\end{gathered}$}[/tex]
Chegando neste ponto devemos saber qual deve ser a forma final da equação da reta tangente. Como não nos foi informado a forma final da reta, vou deixa-la em sua forma reduzida. Para isso, devemos isolar a incógnita "y" no primeiro membro da equação "V". Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = \frac{x}{4} - \frac{2}{4} + 5\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = \frac{x - 2 + 20}{4}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = \frac{x + 18}{4}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = \frac{x}{4} + \frac{18}{4}\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, a forma reduzida da equação tangente é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t: y = \frac{x}{4} + \frac{18}{4}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]