Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função [tex]Y=\ln\left(\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } \right)[/tex] é

[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{-\dfrac{1}{-x^2+1} }}$}[/tex]

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

[tex]Y=\ln\left(\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } \right)[/tex]

Para achar a derivada dessa função temos que usar algumas

propriedades e regras da derivação

• Regra da cadeia

       [tex]\boxed{\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}=\dfrac{dy}{dx} }[/tex]

• Derivada do Logaritmo Natural

       [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(ln(x)\right)= \dfrac{1}{x} }[/tex]

• Derivada da raiz quadrada

       [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx} \left(\sqrt{x}\right) =\dfrac{1}{2\sqrt{x} } }[/tex]

• Regra do quociente

        [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(\frac{F(x)}{G(x)} \right)= \dfrac{\dfrac{dy}{dx} (F(x)\cdot G(x)-F(x)\cdot \dfrac{dy}{dx} (G(x)}{G(x)^2} }[/tex]

• Derivada de uma variável elevada a uma constante

        [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(X^C\right)=C\cdot X^{C-1} }[/tex]

Antes de começarmos perceba que teremos que duas regras da cadeia, porque temos uma função composta

Primeiro vamos chamar o argumento do Logaritmo natural  de U

[tex]\boxed{U=\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } }[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx}\left(\ln\left(\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } \right)\right)\Rightarrow\dfrac{dy}{du}\left(\ln\left(U\right)\right)\cdot \dfrac{du}{dx}\left(\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } \right) \Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{1}{U} \cdot \dfrac{du}{dx}\left(\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } \right) \Rightarrow\boxed{ \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } } \cdot \dfrac{du}{dx}\left(\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } \right) } $}[/tex]

Perceba que novamente vamos ter que fazer a regra da cadeia vamos chamar o radicando de Z

[tex]\boxed{Z=\dfrac{1-x}{1+x} }[/tex]

[tex]\large\text{$ \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } } \cdot \dfrac{du}{dx}\left(\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } \right) \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } } \cdot \dfrac{du}{dz}\left(\sqrt{Y} \right) \cdot \dfrac{dz}{dx}\left(\dfrac{1-x}{1+x} \right) \Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } } \cdot \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{Y} }\cdot \dfrac{dz}{dx}\left(\dfrac{1-x}{1+x} \right) \Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } } \cdot \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } }\cdot \dfrac{dz}{dx}\left(\dfrac{1-x}{1+x} \right) }$}[/tex]

Bem perceba que a ultima derivada que falta é uma fração. ou seja teremos que fazer uma regra do quociente, vamos  fazer separadamente para ficar mais organizado e depois substituir na expressão

[tex]\large\text{$\dfrac{dz}{dx}\left(\dfrac{1-x}{1+x} \right) \Rightarrow \dfrac{\dfrac{dz}{dx}(1-x)\cdot (1+x)-(1-x)\cdot \dfrac{dz}{dx}(1+x) }{(1+x)^2} \Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$ \dfrac{-1\cdot (1+x)-(1-x)\cdot 1 }{(1+x)^2} \Rightarrow\dfrac{-1-x-(1-x)}{(1+x)^2} \Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} \Rightarrow \boxed{\dfrac{-1}{(1+x)^2}}$}[/tex]

Assim concluímos que [tex]\large\text{$\dfrac{dz}{dx}\left(\dfrac{1-x}{1+x} \right) = \dfrac{-2}{(1+x)^2} $}[/tex]

Substituindo na expressão  final temos

[tex]\large\text{$\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } } \cdot \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } }\cdot \dfrac{dz}{dx}\left(\dfrac{1-x}{1+x} \right) \Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } } \cdot \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } }\cdot \dfrac{-2}{(1+x)^2}} $}[/tex]

Achamos nossa derivada, agora podemos simplificar essa expressão

[tex]\large\text{$\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } } \cdot \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } }\cdot \dfrac{-2}{(1+x)^2}\Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{-2}{2\cdot \left(\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x} } \right)^2\cdot (1+x)^2}\Rightarrow \dfrac{-1}{ \dfrac{1-x}{1+x} \cdot (1+x)^2}\Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{-1}{ (1-x)\cdot \dfrac{(1+x)^2}{(1+x)} }\Rightarrow \dfrac{-1}{(1-x)\cdot (1+x)} \Rightarrow \dfrac{-1}{-x^2+1} \Rightarrow \boxed{-\dfrac{1}{-x^2+1}} $}[/tex]

Assim concluímos que a derivada da função é  [tex]\large\text{$\boxed{\boxed{-\dfrac{1}{-x^2+1} }}$}[/tex]