Lista de exercícios - VIII UFRN
Professor: David Zavaleta Villanueva
2)Encontre as equações das retas tangentes ao gráfico das funções,
nos pontos dados:
A) [tex]Y=x^3+1~~ x_0=1[/tex]
Professor: David Zavaleta Villanueva
2)Encontre as equações das retas tangentes ao gráfico das funções,
nos pontos dados:
A) [tex]Y=x^3+1~~ x_0=1[/tex]
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Lista de comentários
Usando a equação fundamental de uma reta podemos concluir que a reta tangente a função [tex]Y=x^3+1[/tex] no ponto [tex]x_0=1[/tex] é
[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{Y=3x-1}}$}[/tex]
Mas, como chegamos nessa conclusão?
Temos que encontrar a reta tangente da seguinte função
[tex]Y=x^3+1[/tex]
Para encontrar a reta tangente usamos a equação fundamental da reta
O primeiro passo é achar o ponto [tex]\left(X_0, Y_0\right)[/tex]. Perceba que a questão nos da o [tex]x_0[/tex] mas não da o [tex]y_0[/tex], então temos que descobrir o seu valor
Como ja temos o [tex]x_0[/tex] basta substituirmos na função e acharemos o [tex]y_0[/tex]
[tex]Y=x^3+1[/tex] [tex]x_0=1[/tex]
[tex]Y=1^3+1\\\\Y=1+1\\\\\boxed{Y=2}[/tex]
Assim encontramos que no ponto [tex]X_0=1[/tex] o ponto corresponde em Y é [tex]Y_0=2[/tex]
Bem agora so temos que encontrar a Coeficiente angular que é dada pela DERIVADA da função e depois substituindo X por [tex]X_0=1[/tex]. Então vamos lá.
[tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx}\left(x^3+1\right) \Rightarrow \boxed{3x^2}$}[/tex]
Agora que achamos a derivada, basta substituir X por [tex]X_0=1[/tex] e assim teremos nosso Coeficiente
[tex]\large\text{$3x^2\Rightarrow 3\cdot 1 \Rightarrow \boxed{3}$}~~~\\\\\large\text{$\boxed{M=3}$}[/tex]
Assim basta substituirmos tudo que encontramos para achar a reta tangente a função
[tex]\large\text{$Y-Y_0=M\cdot \left(X-X_0\right)$}\\\\\\\large\text{$Y-2=3\cdot \left(X-1\right)$}\\\\\\\large\text{$Y-2=\left(3X-3\right)$}\\\\\\\large\text{$Y=3X-3+2$}\\\\\\\large\text{$\boxed{Y=3X-1}$}[/tex]
Achamos a nossa reta tangente
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente à curva da referida função polinomial do terceiro grau "f(x) = x³ + 1" passando pela abscissa do ponto de tangência "x0 = 1" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 3x - 1\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os dados:
[tex]\Large\begin{cases} y = x^{3} + 1\\x_{0} = 1\end{cases}[/tex]
Sabendo que y = f(x) e que x0 = xt então, podemos reescrever os dados como:
[tex]\Large\begin{cases} f(x) = x^{3} + 1\\x_{T} = 1\end{cases}[/tex]
Para montarmos a equação da reta tangente ao gráfico da referida função, devemos utilizar a fórmula "ponto/declividade", também conhecida como "equação fundamental da reta", isto é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$}[/tex]
Sabendo que o coeficiente angular da reta tangente é numericamente igual à primeira derivada da função no ponto de abscissa "Xt", ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{T})\end{gathered}$}[/tex]
Além disso, sabemos também que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo "II" e "III" em "I", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo os dados na equação "IV", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - (1^{3} + 1) = (3\cdot1^{3 - 1} + 0)\cdot(x - 1)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - (1 + 1) = (3\cdot1^{2})\cdot(x - 1)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 2 = 3\cdot(x - 1)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 2 = 3x - 3\end{gathered}$}[/tex]
Chegando neste ponto devemos saber qual deve ser a forma final da equação da reta tangente. Como não nos foi informado a forma final da reta, vou deixa-la em sua forma reduzida. Para isso, devemos isolar a incógnita "y" no primeiro membro da equação "V". Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = 3x - 3 + 2\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = 3x - 1\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, a forma reduzida da equação tangente é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t: y = 3x - 1\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]