Lista de exercícios - VIII UFRN
Professor David Zavaleta Villanueva
1)
Encontre as derivadas das funções:
E)
[tex]\large\text{$Y=x^{2x}$}[/tex]
Professor David Zavaleta Villanueva
1)
Encontre as derivadas das funções:
E)
[tex]\large\text{$Y=x^{2x}$}[/tex]
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Lista de comentários
Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função [tex]Y=x^{2x}[/tex] é
[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{2x^{2x}\cdot (\ln(x)+1)}}$}[/tex]
Mas, Como chegamos nessa resposta?
Temos que derivar a seguinte função
[tex]\large\text{$Y=x^{2x}$}[/tex]
Perceba que temos que derivar uma função elevada a outra função, e quando temos esse tipo de derivada temos que usar a seguinte equação
[tex]\large\text{$\boxed{\dfrac{dy}{dx} \left(F(x)^{G(x)}\right)= F(x)^{G(x)}\cdot\left(G'(x)\cdot \ln(F(x))+G(x)\cdot \dfrac{F'(x)}{F(x)} \right)}$}[/tex]
Substituindo na equação temos
[tex]\large\text{$ x^{2x}\cdot\left((2x)'\cdot \ln(x)+2x\cdot \dfrac{(x)'}{x} \right)\Rightarrow \boxed{x^{2x}\cdot\left(2\cdot \ln(x)+2x\cdot \dfrac{1}{x} \right)}$}[/tex]
Aqui ja achamos a derivada, agora vamos apenas simplificar a expressão
[tex]\large\text{$ x^{2x}\cdot\left(2\cdot \ln(x)+2x\cdot \dfrac{1}{x} \right)\Rightarrow x^{2x}\cdot\left(2\cdot \ln(x)+ \dfrac{2x}{x} \right)\Rightarrow $}[/tex]
[tex]\large\text{$x^{2x}\cdot\left(2\cdot \ln(x)+ 2)\Rightarrow x^{2x}\cdot 2\cdot (\ln(x)+1)\Rightarrow \boxed{2x^{2x}\cdot (ln(x)+1)}$}[/tex]
Assim concluímos que a derivada da função [tex]Y=x^{2x}[/tex] é
[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{2x^{2x}\cdot (\ln(x)+1)}}$}[/tex]
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a derivada primeira da referida função é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f'(x) = 2x^{2x}\cdot\left[\ln(x) + 1\right]\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Seja a função dada:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = x^{2x}\end{gathered}$}[/tex]
Fazendo:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$}[/tex]
Então, podemos reescrevera função original como:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = x^{2x}\end{gathered}$}[/tex]
Observe que a função "f(x)" é igual a uma potência de outra função, isto é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = g(x)^{h(x)}\end{gathered}$}[/tex]
Desse modo temos:
[tex]\Large\begin{cases} g(x) = x\\h(x) = 2x\end{cases}[/tex]
Para calcularmos a derivada primeira de f(x), devemos fazer:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f'(x) = g(x)^{h(x)}\cdot\bigg\{h'(x)\cdot\ln\left[g(x)\right] + h(x)\cdot\frac{g'(x)}{g(x)}\bigg\}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = x^{2x}\cdot\bigg\{1\cdot2\cdot x^{1 - 1}\cdot\ln(x) + 2x\cdot\frac{1\cdot x^{1 - 1}}{x}\bigg\}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = x^{2x}\cdot\bigg\{2\cdot x^{0}\cdot\ln(x) + 2x\cdot\frac{1\cdot x^{0}}{x}\bigg\}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = x^{2x}\cdot\bigg\{2\cdot1\cdot\ln(x) + 2x\cdot\frac{1\cdot1}{x}\bigg\}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = x^{2x}\cdot\bigg\{2\ln(x) + \frac{2x}{x}\bigg\}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = x^{2x}\cdot\{2\ln(x) + 2\}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = x^{2x}\cdot2\cdot\left[\ln(x) + 1\right]\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 2x^{2x}\cdot\left[\ln(x) + 1\right]\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, a derivada procurada é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}f'(x) = 2x^{2x}\cdot\left[\ln(x) + 1\right]\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]