Usando a definição de derivadas podemos concluir que a derivada da função F(x)=Sen(x²) é

[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{2x\cdot Cos(x^2)}}$}[/tex]

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Para responder essa questão temos que lembrar definição de derivadas

• Definição de derivadas

       [tex]\boxed{F'(x)=\lim_{h\to 0}\left(\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}\right) }[/tex]

Substituindo pela função [tex]F(x)=Sen(x^2)[/tex] temos

[tex]\boxed{\left(Sen(x^2)\right)'=\lim_{h\to 0}\left(\dfrac{Sen(x+h)^2-Sen(x^2)}{h}\right) }[/tex]

Então para acharmos a nossa derivada, basta resolvermos esse limite  com H tendendo a 0 e X sendo uma constante

Para resolver esse limite vamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica e do seguinte produto notável

[tex]\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}[/tex]

[tex]\boxed{Sen(A+B)= Sen(A)\cdot Cos(B)+Sen(B)\cdot Cos(A) }[/tex]

Nessa questão vamos chamar o A de [tex]x^2[/tex] é o B de [tex]2xh+h^2[/tex]

[tex]A=x^2\\\\B=2xh+h^2[/tex]

Com isso em mente vamos prosseguir com o  cálculo  

[tex]\lim_{h\to 0}\left(\dfrac{Sen(x+h)^2-Sen(x^2)}{h}\right) \Rightarrow\\\\\\\lim_{h\to 0}\left(\dfrac{Sen(x^2+2xh+h)-Sen(x^2)}{h}\right)\Rightarrow\\\\\\\boxed{\lim_{h\to 0}\left(\dfrac{Sen(x^2)\cdot Cos(2xh+h^2)+Sen(2xh+h^2)\cdot Cos(x^2)-Sen(x^2)}{h}\right)\Rightarrow}[/tex]

Agora perceba que nosso limite ficou bem grande, mas podemos simplifica-lo botando o [tex]Sen(x^2)[/tex] em evidencia e depois podemos simplificar nosso o dividindo em dois limites pelas propriedades  dos limites

[tex]\lim_{h\to 0}\left(\dfrac{Sen(x^2)\cdot Cos(2xh+h^2)+Sen(2xh+h^2)\cdot Cos(x^2)-Sen(x^2)}{h}\right)\Rightarrow\\\\\\\\\lim_{h\to 0}\left(\dfrac{Sen(x^2)\cdot Cos(2xh+h^2)-Sen(x^2)+Sen(2xh+h^2)\cdot Cos(x^2)}{h}\right)\Rightarrow\\\\\\\\\lim_{h\to 0}\left(\dfrac{Sen(x^2)\cdot \left((Cos(2xh+h^2)-1\right)+Sen(2xh+h^2)\cdot Cos(x^2)}{h}\right)\Rightarrow\\\\\\\\\lim_{h\to0}\left(\dfrac{Sen(x^2)\cdot (Cos(2xh+h^2)}{h} +\dfrac{Sen(2xh+h^2)\cdot Cos(x^2)}{h} \right)[/tex]

Agora basta resolvermos os dois limites que teremos a nossa derivada. Como  X é uma constante podemos usar a seguinte propriedade de limites para simplificar o nosso cálculo

[tex]\boxed{\lim_{X\to }\left(C\cdot X\right)=C\cdot \lim_{X\to}\left(X\right)}[/tex]

Então podemos reescrever nosso limite como

[tex]\small\text{$\lim_{h\to0}\left(Sen(x^2)\cdot~\lim_{h\to0}\left(\dfrac{\left(Cos(2xh+h^2)-1\right)}{h} \right)+ Cos(x^2)\cdot~ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{Sen(2xh+h^2)}{h} \right)\right)$}[/tex]

Agora vamos resolver os limites é acharemos nossa derivada

Como temos limites trigonométricos, vamos relembrar   alguns Limites fundamentais da trigonometria

[tex]\boxed{\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(x)}{x}\right) =1}\\\\\\\\\boxed{\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(a\cdot x)}{x}\right) =a}\\\\[/tex]

Vamos resolver cada limite separadamente e depois substituir na equação principal

Vamos começar com o limite [tex]\lim_{h\to0}\left(\dfrac{Sen(2xh+h^2)}{h} \right)[/tex], para resolver esse limite basta colocarmos H em evidencia é aplicar o limite fundamental [tex]\boxed{\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(a\cdot x)}{x}\right) =a}\\\\[/tex]

[tex]\lim_{h\to0}\left(\dfrac{Sen(2xh+h^2)}{h} \right)\Rightarrow\lim_{h\to0}\left(\dfrac{Sen(h\cdot (2x+h))}{h} \right)\Rightarrow\boxed{2x+h}[/tex]

Agora vamos resolver o outro limite [tex]\lim_{h\to0}\left(\dfrac{Cos(2xh+h^2)-1}{h} \right)[/tex]

Para resolver esse limite basta multiplicarmos a função pelo seu conjugado aplificar a equação fundamental da trigonometria, simplificar o resultado e usar o limite fundamental da trigonometria

• equação fundamental da trigonometria

        [tex]\boxed{Sen^2(x)+Cos^2(x)=1}[/tex]

Vamos resolver

[tex]\lim_{h\to0}\left(\dfrac{Cos(2xh+h^2)-1}{h} \right)\Rightarrow \lim_{h\to0}\left(\dfrac{Cos(2xh+h^2)-1}{h} \right)\cdot \dfrac{Cos(2xh+h^2)+1}{Cos(2xh+h^2)+1}[/tex]

[tex]\lim_{h\to0}\left(\dfrac{Cos^2(2xh+h^2)-1}{h\cdot \left(Cos(2xh+h^2)+1\right)} \right)\Rightarrow \lim_{h\to0}\left(\dfrac{-Sen^2(2xh+h^2)}{h\cdot \left(Cos(2xh+h^2)+1\right)} \right)\Rightarrow[/tex]

[tex]-1\cdot \lim_{h\to0}\left(\dfrac{Sen^2(2xh+h^2)}{h\cdot \left(Cos(2xh+h^2)|+1\right)} \right)\Rightarrow[/tex]

[tex]-1\cdot \lim_{h\to0}\left(\dfrac{Sen(2xh+h^2)\cdot Sen(2xh+h^2)}{h\cdot \left(Cos(2xh+h^2)+1\right)} \right)\Rightarrow[/tex]

[tex]-1\cdot \lim_{h\to0}\left(\dfrac{Sen(2xh+h^2)}{h} \right)\cdot \lim_{h\to0}\left(\dfrac{Sen(2xh+h^2)}{\left(Cos(2xh+h^2)+1\right)} \right)\Rightarrow\\[/tex]

[tex]-1\cdot \lim_{h\to0}\left(\dfrac{Sen(h\cdot (2x+h))}{h} \right)\cdot \lim_{h\to0}\left(\dfrac{Sen(2xh+h^2)}{\left(Cos(2xh+h^2)+1\right)} \right)\Rightarrow\\[/tex]

[tex]-1\cdot (2x+h)\cdot \lim_{h\to0}\left(\dfrac{Sen(2xh+h^2)}{\left(Cos(2xh+h^2)+1\right)} \right)\Rightarrow\\[/tex]

Como não temos indeterminação podemos substituir H por 0 e ver o resultado

[tex]-1\cdot (2x+h)\cdot \lim_{h\to0}\left(\dfrac{Sen(2x\cdot 0+0^2)}{\left(Cos(2x\cdot 0+0^2)+1\right)} \right)\Rightarrow\\[/tex]

[tex]-1\cdot (2x+h)\cdot \lim_{h\to0}\left(\dfrac{Sen(0)}{\left(Cos(0)+1\right)} \right)\Rightarrow\\\\\\\\-1\cdot (2x+h)\cdot \lim_{h\to0}\left(\dfrac{0}{\left(1+1\right)} \right)\Rightarrow\\\\\\\\-1\cdot (2x+h)\cdot \lim_{h\to0}\left(\dfrac{0}{\left(2\right)} \right)= \boxed{\boxed{0}}[/tex]

Ou seja concluímos que

[tex]\lim_{h\to0}\left(\dfrac{Cos(2xh+h^2)-1}{h} \right)=\boxed{0}[/tex]

[tex]\lim_{h\to0}\left(\dfrac{Sen(2xh+h^2)}{h} \right)=\boxed{2x+h}[/tex]

Substituindo na equação principal temos

[tex]\small\text{$\lim_{h\to0}\left(Sen(x^2)\cdot~\lim_{h\to0}\left(\dfrac{\left(Cos(2xh+h^2)-1\right)}{h} \right)+ Cos(x^2)\cdot~ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{Sen(2xh+h^2)}{h} \right)\right)$}[/tex]

[tex]\lim_{h\to0}\left(Sen(x^2)\cdot~0+ Cos(x^2)\cdot(2x+h)\right)\Rightarrow\\\\\\\lim_{h\to0}\left(0+ Cos(x^2)\cdot(2x+h)\right)\Rightarrow\\\\\\Cos(x^2)\cdot (2x+0)= \boxed{\boxed{2x\cdot Cos(x^2)}}[/tex]

Assim concluímos que a derivada  da função F(x)=Sen(x²) é

[tex]\large\text{$\boxed{2x\cdot Cos(x^2)}$}[/tex]

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Resposta: [tex]\dfrac{d}{dx}\!\left[\mathrm{sen}(x^2)\right]=\cos(x^2)\cdot 2x.[/tex]

Explicação passo a passo:

Derivada de função de uma variável real

• Definição: Dada uma função f: D ⊆ ℝ ⟶ ℝ, definimos a derivada de f com relação a x como sendo a função

     f': D' ⊆ D ⟶ ℝ

cuja lei em cada ponto x ∈ D' é dada por

     [tex]\displaystyle f'(x):=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

sendo D' um conjunto não-vazio, cujos elementos são todos os valores de x para os quais o limite (i) existe. Neste caso, dizemos então que f é derivável em D'.

Calcular a derivada de f(x) = sen(x²)

Para o cálculo do limite, iremos precisar de algumas identidades fundamentais:

• Transformação de soma em produto (prostaférese):

     [tex]\mathrm{sen}(\alpha)-\mathrm{sen}(\beta)=2\cdot \mathrm{sen}\!\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

• Limite trigonométrico fundamental:

    [tex]\displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\mathrm{sen}(u)}{u}=1\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]

Pela definição, a derivada da função f(x) = sen(x²) é dada por

     [tex]\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathrm{sen}((x+h)^2)-\mathrm{sen}(x^2)}{h}[/tex]

Reescreva o numerador do limite como um produto, aplicando a identidade (ii), com ɑ = (x + h)² e β = x². Assim, o limite fica

     [tex]\displaystyle =\lim_{h\to 0}\frac{2\cdot \mathrm{sen}(\frac{(x+h)^2-x^2}{2})\cdot \cos(\frac{(x+h)^2+x^2}{2})}{h}[/tex]

Expanda o quadrado da soma por produtos notáveis

     (x + h)² = x² + 2xh + h²

e o limite fica

     [tex]\displaystyle =\lim_{h\to 0}\frac{2\cdot \mathrm{sen}(\frac{(x^2+2xh+h^2)-x^2}{2})\cdot \cos(\frac{(x^2+2xh+h^2)+x^2}{2})}{h}\\\\\\ =\lim_{h\to 0}\frac{2\cdot \mathrm{sen}(\frac{2xh+h^2}{2})\cdot \cos(\frac{2x^2+2xh+h^2}{2})}{h}[/tex]

Com a intenção de fazer aparecer o limite trigonométrico fundamental (iii), escrevemos o fator [tex]2xh+h^2[/tex] no denominador e no numerador convenientemente, e o limite do cálculo da derivada fica

     [tex]\displaystyle =\lim_{h\to 0}\frac{2\cdot \mathrm{sen}(\frac{2xh+h^2}{2})\cdot \cos(\frac{2x^2+2xh+h^2}{2})}{2xh+h^2}\cdot \frac{2xh+h^2}{h}\\\\\\ =\lim_{h\to 0}\frac{\mathrm{sen}(\frac{2xh+h^2}{2})\cdot \cos(\frac{2x^2+2xh+h^2}{2})}{\frac{2xh+h^2}{2}}\cdot \frac{2xh+h^2}{h}[/tex]

Separe a fração como um produto:

[tex]\displaystyle =\lim_{h\to 0}\frac{\mathrm{sen}(\frac{2xh+h^2}{2})}{\frac{2xh+h^2}{2}}\cdot \cos\!\left(\frac{2x^2+2xh+h^2}{2}\right)\cdot \frac{2xh+h^2}{h}\qquad\mathrm{(iv)}[/tex]

Podemos enxergar (iv) como sendo o limite do produto de três funções na variável h. Se o limite de cada um dos fatores existir, então o limite (iv) existe e é igual ao produto dos limites dos fatores. Vejamos:

     [tex]\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\mathrm{sen}(\frac{2xh+h^2}{2})}{\frac{2xh+h^2}{2}}\\\\\\ =\lim_{u\to 0}\frac{\mathrm{sen}(u)}{u}=1\qquad\mathrm{(v)}[/tex]

onde acima foi feita a mudança de variável [tex]\dfrac{2xh+h^2}{2}=u,[/tex] e [tex]u\to 0[/tex] quando [tex]h\to 0.[/tex]

     [tex]\displaystyle \lim_{h\to 0}\cos\!\left(\frac{2x^2+2xh+h^2}{2}\right)\\\\\\ =\cos\!\left(\frac{2x^2+2x\cdot 0+0^2}{2}\right)\\\\\\ =\cos\!\left(\frac{2x^2}{2}\right)\\\\\\ =\cos(x^2)\qquad\mathrm{(vi)}[/tex]

     [tex]\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}\\\\\\ =\lim_{h\to 0}\frac{(2x+h)\cdot h}{h}\\\\\\ \lim_{h\to 0} (2x+h)\\\\ =2x+0\\\\ =2x\qquad\mathrm{(vii)}[/tex]

Portanto, por (v), (vi) e (vii), segue que o limite (iv) é

     [tex]\displaystyle =\lim_{h\to 0}\frac{\mathrm{sen}(\frac{2xh+h^2}{2})}{\frac{2xh+h^2}{2}}\cdot \lim_{h\to 0}\cos\!\left(\frac{2x^2+2xh+h^2}{2}\right)\cdot \lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}\\\\\\ =1\cdot \cos(x^2)\cdot 2x\\\\\\ \therefore~~f'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x[/tex]

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