Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função   [tex]Y=Sen(x)^{Cos(x)}[/tex] é

[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{Sen(x)^{Cos(X)}\cdot\left(-Sen(x)\cdot \ln(Sen(x)+Cot(x)\cdot Cos(x)\right)}}$}[/tex]

Mas, Como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

[tex]Y=Sen(x)^{Cos(x)}[/tex]

Perceba que temos que derivar uma função elevada a outra função, e quando temos esse tipo de derivada temos que usar a seguinte equação

• Derivada de uma função elevada a outra função

[tex]\large\text{$\boxed{\dfrac{dy}{dx} \left(F(x)^{G(x)}\right)= F(x)^{G(x)}\cdot\left(G'(x)\cdot \ln(F(x))+G(x)\cdot \dfrac{F'(x)}{F(x)} \right)}$}[/tex]

Agora antes de começarmos basta lembrarmos  de algumas propriedades

• Derivada do seno

        [tex]\large\text{$\boxed{\dfrac{dy}{dx}(Sen(x))= Cos(x)} $}[/tex]

• Derivada do Cosseno

        [tex]\large\text{$\boxed{\dfrac{dy}{dx}(Cos(x))= -Sen(x)} $}[/tex]

• Definição de cotagente

         [tex]\large\text{$\boxed{Cot= \frac{Cos(x)}{Sen(x)} } $}[/tex]

Basta resolvermos a derivada

[tex]\large\text{$\dfrac{dy)}{dx}\left(Sen(x)^{Cos(x)}\right) \Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$Sen(x)^{Cos(x)}\cdot\left((Cos(x))'\cdot \ln(Sen(x))+Cos(x)\cdot \dfrac{(Sen(x))'}{Sen(x)} \right)\Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$Sen(x)^{Cos(x)}\cdot\left(-Sen(x)\cdot \ln(Sen(x))+Cos(x)\cdot \dfrac{Cos(x)}{Sen(x)} \right)\Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$\boxed{Sen(x)^{Cos(x)}\cdot\left(-Sen(x)\cdot \ln(Sen(x))+Cos(x)\cdot Cot(x) \right)}$}[/tex]

Então podemos concluir que a derivada da função [tex]Y=Sen(x)^{Cos(x)}[/tex]  é

[tex]\large\text{$\boxed{Sen(x)^{Cos(x)}\cdot\left(-Sen(x)\cdot \ln(Sen(x))+Cos(x)\cdot Cot(x) \right)}$}[/tex]

Verified answer

Resposta:     [tex]\dfrac{dy}{dx}=\mathrm{sen}(x)^{\cos(x)}\cdot \left[-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \left(\ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+1\right)+\mathrm{cossec}(x)\right][/tex]

Explicação passo a passo:

Para derivar compostas de exponenciais, uma estratégia que pode simplificar a resolução sem a necessidade de memorizar fórmulas é tomar o logaritmo de ambos os lados e derivar implicitamente, utilizando a regra da cadeia:

     [tex]y=\mathrm{sen}(x)^{\cos(x)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \ln(y)=\ln\!\left[\mathrm{sen}(x)^{\cos(x)}\right][/tex]

Reescreva o lado direito utilizando a propriedade do logaritmo de uma potência:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \ln(y)=\cos(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right][/tex]

Derive ambos os lados com respeito a x, considerando y como uma função de x (derivação implícita):

     [tex]\Longrightarrow\quad \dfrac{d}{dx}[\ln(y)]=\dfrac{d}{dx}\left[\cos(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]\right][/tex]

No lado esquerdo, derive aplicando a regra da cadeia:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left[\cos(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]\right][/tex]

No lado direito, derive aplicando a regra para a derivada do produto:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}\!\left[\cos(x)\right]\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\cos(x)\cdot \dfrac{d}{dx}\!\left[\ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]\right]\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\cos(x)\cdot \dfrac{d}{dx}\!\left[\ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]\right][/tex]

Aplique novamente a regra da cadeia para encontrar a derivada que falta no lado direito:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\cos(x)\cdot \left[\dfrac{1}{\mathrm{sen}(x)}\cdot \dfrac{d}{dx}\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]\right]\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\dfrac{\cos(x)}{\mathrm{sen}(x)}\cdot \dfrac{d}{dx}\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\dfrac{\cos(x)}{\mathrm{sen}(x)}\cdot \cos(x)[/tex]

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\dfrac{\cos^2(x)}{\mathrm{sen}(x)}[/tex]

Pela Relação Trigonométrica Fundamental, podemos substituir [tex]\cos^2(x)=1-\mathrm{sen}(x):[/tex]

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\dfrac{1-\mathrm{sen}^2(x)}{\mathrm{sen}(x)}[/tex]

Separe as frações no lado direito e simplifique:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\dfrac{1}{\mathrm{sen}(x)}-\dfrac{\mathrm{sen}^2(x)}{\mathrm{sen}(x)}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\mathrm{cossec}(x)-\mathrm{sen}(x) \\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]-\mathrm{sen}(x)+\mathrm{cossec}(x)[/tex]

Coloque o fator comum em evidência no lado direito:

     [tex] \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \left(\ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+1\right)+\mathrm{cossec}(x)[/tex]

Substitua de volta [tex]y=\mathrm{sen}(x)^{\cos(x)}:[/tex]

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{\mathrm{sen}(x)^{\cos(x)}}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \left\ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\mathrm{cossec}(x)-\mathrm{sen}(x)[/tex]

Isole [tex]\dfrac{dy}{dx}[/tex] no lado esquerdo e finalmente obtemos:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \dfrac{dy}{dx}=\mathrm{sen}(x)^{\cos(x)}\cdot \left[-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \left(\ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+1\right)+\mathrm{cossec}(x)\right][/tex]

sendo esta a resposta.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!