Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função [tex]Y=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} }[/tex] é

[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{-\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} } \cdot (x-1)^2}}} $}[/tex]

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

[tex]Y=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} }[/tex]

Para achar a derivada dessa função temos que usar algumas propriedades e regras da derivação

• Regra da cadeia

       [tex]\boxed{\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}=\dfrac{dy}{dx} }[/tex]

• Derivada da raiz quadrada

        [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx} \left(\sqrt{x}\right) =\dfrac{1}{2\sqrt{x} } }[/tex]

• Regra do quociente

       [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(\frac{F(x)}{G(x)} \right)= \dfrac{\dfrac{dy}{dx} (F(x)\cdot G(x)-F(x)\cdot \dfrac{dy}{dx} (G(x)}{G(x)^2} }[/tex]

• Derivada de uma constante

        [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(C\right)=0 }[/tex]

• Derivada de uma variável elevada a uma constante

        [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(X^C\right)=C\cdot X^{C-1} }[/tex]

Com isso em mente vamos resolver a derivada, Perceba que teremos que usar a regra da cadeia

Vamos chamar [tex]\dfrac{x+1}{x-1} =U[/tex] é aplicar

[tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx} \left(\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} }\right)\Rightarrow\boxed{\dfrac{dy}{du} \left(\sqrt{U }\right)\cdot\dfrac{du}{dx}\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right) } $}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{dy}{du} \left(\sqrt{U }\right)\cdot\dfrac{du}{dx}\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right) \Rightarrow \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{U }}\cdot \dfrac{du}{dx}\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right)\Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$\boxed{\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} }}\cdot \dfrac{du}{dx}\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right)}$}[/tex]

Perceba que teremos que fazer uma regra do quociente ainda então vamos fazer ela separadamente depois substituirmos na equação

[tex]\large\text{$ \dfrac{du}{dx}\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right)\Rightarrow \dfrac{\dfrac{du}{dx}\left(x+1\right)\cdot (x-1)-(x+1)\cdot \dfrac{du}{dx}\left(x-1\right) }{(x-1)^2} $}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1 }{(x-1)^2} \Rightarrow \dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} \Rightarrow\dfrac{x-1-x-1}{(x-1)^2} \Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{-2}{(x-1)^2}\Rightarrow \boxed{-\dfrac{2}{(x-1)^2}} $}[/tex]

Substituindo na nossa expressão temos

[tex]\large\text{$\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} }}\cdot \dfrac{du}{dx}\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right)\Rightarrow\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} }}\cdot \dfrac{-2}{(x-1)^2}\Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{-2}{2\cdot \sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} }\cdot (x-1)^2}\Rightarrow\dfrac{-1}{\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} } \cdot (x-1)^2}\Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$\boxed{-\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} } \cdot (x-1)^2}} $}[/tex]

Assim concluímos que a derivada da função é

[tex]\large\text{$\boxed{-\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} } \cdot (x-1)^2}} $}[/tex]