Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função [tex]\large\text{$Y=\frac{tg(x)-ctg(x)}{tg(x)+ctg(x)} $}[/tex]  é

[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{2\cdot sen(2x)}}$}[/tex]

Mas, Como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

[tex]\large\text{$Y=\dfrac{tg(x)-ctg(x)}{tg(x)+ctg(x)} $}[/tex]

Perceba que antes de começarmos a derivar podemos simplificar essa função com propriedades trigonométricas

Vamos relembrar que:

• Definição de tangente

       [tex]\boxed{Tg(x)=\dfrac{Sen(x)}{Cos(x)}}[/tex]

• Definição de cotangente

        [tex]\boxed{Ctg=\dfrac{Cos(x)}{Sen(x)}}[/tex]

• Propriedade fundamental da trigonometria

        [tex]\boxed{Sen^2(x)+Cos^2(x)=1}[/tex]

• Diferença entre seno e cosseno ambos ao quadrado

        [tex]\boxed{Sen^2(x)-Cos^2(x)=-Cos(2x)}[/tex]

Com isso em mente vamos lá

[tex]\large\text{$\dfrac{tg(x)-ctg(x)}{tg(x)+ctg(x)} \Rightarrow \dfrac{\dfrac{Sen(x)}{Cos(x)}-\dfrac{Cos(x)}{Sen(x)} }{\dfrac{Sen(x)}{Cos(x)}+\dfrac{Cos(x)}{Sen(x)} } \Rightarrow\dfrac{\dfrac{Sen^2(x)- Cos^2(x)}{Cos(x)\cdot Sen(x)} }{\dfrac{Sen^2(x)+ Cos^2(x)}{Cos(x)\cdot Sen(x)} } \Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{Sen^2(x)-Cos^2(x)}{Cos(x)\cdot Sen(x)} \cdot \dfrac{Cos(x)\cdot Sen(x)}{Sen^2(x)+Cos^2(x)} \Rightarrow\dfrac{Sen^2(x)-Cos^2(x)}{Sen^2(x)+Cos^2(x)} $}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{-Cos(2x)}{1}\Rightarrow\boxed{-Cos(2x)} $}[/tex]

Logo concluirmos que

[tex]\large\text{$\boxed{\dfrac{tg(x)-ctg(x)}{tg(x)+ctg(x)} =-Cos(2x)}$}[/tex]

Então vamos achar a derivada de [tex]-Cos(2x)[/tex]  

Lembrando que:

• Derivada do Cosseno(x)

        [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}(Cos(x))= -Sen(x)}[/tex]

• Regra da cadeia

        [tex]\boxed{(F(g(x)))^{'}=F(g(x))' \cdot g'(x)}[/tex]

• Constante multiplicando uma variável na derivada [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(C\cdot X\right)= C\cdot \dfrac{dy}{dx}\left(X\right) }[/tex]

Agora vamos resolver a derivada

[tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx} \left(-cos(2x)\right)\Rightarrow- \dfrac{dy}{dx} \left(cos(2x)\right)\Rightarrow- \dfrac{dy}{du} \left(cos(U)\right)\cdot \dfrac{du}{dx} (2x) \Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$- \left(-Sen(U)\cdot 2 \right)\Rightarrow 2Sen(U)\Rightarrow \boxed{2Sen(2x)}$}[/tex]

Assim concluirmos que a derivada da função [tex]\large\text{$Y=\frac{tg(x)-ctg(x)}{tg(x)+ctg(x)} $}[/tex] é

[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{2\cdot Sen(2x)}}$}[/tex]