Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função  [tex]Y=5x^3+ \sqrt{3x^2 }[/tex] é

[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{15x^2+\dfrac{3x}{\sqrt{3x^2} }}} $}[/tex]

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

[tex]Y=5x^3+ \sqrt{3x^2 }[/tex]

Para derivarmos essa função precisamos lembrar de algumas regras da derivação

• Derivada da soma

    [tex]\boxed{\dfrac{d}{dx} \left(F(x)+G(x)\right)=\dfrac{df}{dx} \left(F(x)\right)+\dfrac{dg}{dx} \left(G(x)\right)}[/tex]

• Derivada de uma constante elevada a uma variável qualquer

    [tex]\boxed{\dfrac{d}{dx}\left(X^N\right)=N\cdot X^{N-1}}[/tex]

• Derivada de uma raiz quadrada

    [tex]\boxed{\dfrac{d}{dx}\left(\sqrt{X} \right)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{X} } }[/tex]

• Regra da cadeia

      [tex]\boxed{\left(F((g(x)\right)'=f'(g(x))\cdot g'(x)}[/tex]

Antes de começarmos, perceba que teremos que utilizar a regra da cadeia nessa derivada. Pois, [tex]\sqrt{3x^2}[/tex] é uma função composta, então vamos separar essa deriva em duas  e resolver cada uma separadamente

[tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx} \left(5x^3+ \sqrt{3x^2 }\right)$}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx}\left(5x^3\right)+ \dfrac{dy}{dx}\left(\sqrt{3x^2} \right)$}[/tex]

Vamos resolver primeiro [tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx}\left(5x^3\right)$}[/tex]  e depois resolver [tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx}\left(\sqrt{3x^2} \right)$}[/tex] para facilitar a compreensão do problema

[tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx}\left(5x^3\right)\Rightarrow 5\cdot 3\cdot x^{3-1}\Rightarrow \boxed{15x^2}$}[/tex]

Agora resolver a outra derivada.

a derivada [tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx}\left(\sqrt{3x^2} \right)$}[/tex] é um pouco mais complexa pois teremos que usar a regra da cadeia. Vamos chamar [tex]3x^2[/tex] de U e em seguida derivaremos a função sendo a variável  U e depois substituiremos U por [tex]3x^2[/tex] e por Fim multiplicaremos pela derivada de [tex]3x^2[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx}\left(\sqrt{3x^2} \right) \Rightarrow \dfrac{dy}{du}\left(\sqrt{U} \right)\cdot \dfrac{du}{dx}(3x^2) \Rightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{U} }\cdot 6x $}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{6x}{2\sqrt{U} }\Rightarrow \dfrac{3x}{\sqrt{U} } \Rightarrow \boxed{\dfrac{3x}{\sqrt{3x^2} } } $}[/tex]

Agora que derivamos as duas derivadas basta somarmos elas

[tex]\large\text{$\boxed{ 15x^2+ \dfrac{3x}{\sqrt{3x^2} } }$}[/tex]

Então podemos concluir que a derivada da função [tex]Y=5x^3+ \sqrt{3x^2 }[/tex] é

[tex]\large\text{$\boxed{ 15x^2+ \dfrac{3x}{\sqrt{3x^2} } }$}[/tex]

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