Utilizando propriedade trigonométricas de limites podemos concluir que quando X tende a 0 a função tende para

[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{\dfrac{3}{4}}} $}[/tex]

Temos o seguinte Limite trigonométrico .

[tex]\large\text{$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{Tag(3x)}{Sen(4x)} \right)$}[/tex]

Perceba que substituirmos X por zero teremos uma indeterminação

[tex]\large\text{$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{Tag(3x)}{Sen(4x)} \right)\Rightarrow\left(\dfrac{Tag(0)}{Sen(0)} \right)\Rightarrow\dfrac{0}{0}? $}[/tex]

Então temos que usar alguma propriedade Para saber o valor de função ao tender a zero

Para isso usaremos o limite fundamental da trigonometria

[tex]\large\text{$\boxed{\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{Sen(x)}{x}\right) =1}$}[/tex]

Então vamos lá, primeiro vamos reescrever a tangente como a divisão do seno pelo cosseno

[tex]\large\text{$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{Tag(3x)}{Sen(4x)} \right)\Rightarrow\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{\dfrac{Sen(3x)}{Cos(3x)} }{Sen(4x)} \right)\Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{Sen(4x)\cdot Cos(3x)} \right)$}[/tex]

Usando propriedade de limites podemos separar esse limite em dois, para facilitar a conta

[tex]\large\text{$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{Sen(4x)\cdot Cos(3x)} \right)\Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{Sen(4x)} \right)\cdot\lim_{x\to0}\left(\dfrac{1}{Cos(3x)} \right)\Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{Sen(4x)} \cdot \dfrac{\frac{3x}{3x} }{\frac{4x}{4x} } \right)\cdot\left(\dfrac{1}{Cos(3\cdot 0)} \right)\Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{3x\cdot \frac{Sen(3x)}{3x} }{4x\cdot \frac{Sen(4x)}{4x} } \right)\cdot\left(\dfrac{1}{Cos(0)} \right)\Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{3x\cdot 1}{4x\cdot 1 } \right)\cdot1\right)\Rightarrow\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{3x}{4x} \right)\Rightarrow\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{3}{4} \right)\Rightarrow\boxed{\dfrac{3}{4}} $}[/tex]

Assim podemos concluir que quando X tende a 0 a função tenderá para [tex]\dfrac{3}{4}[/tex]

Vou anexar o gráfico da função, perceba que quando X chega a um valor bem próximo de zero a função tende a [tex]\dfrac{3}{4}[/tex]

• [tex]\boxed{\frac{3}{4} =0{,}75}[/tex]

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