Usando  a equação fundamental  da reta podemos concluir que a reta tangente a função [tex]Y=x^2\cdot \ln(x)[/tex] no ponto [tex]X_0=1[/tex] é

[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{Y=x-1 }}$}[/tex]

Mas, como chegamos nessa conclusão?

Temos que encontrar a reta tangente da seguinte função

[tex]Y=x^2\cdot \ln(x)[/tex]

Para encontrar a reta tangente usamos a equação fundamental da reta

• [tex]\large\text{$\boxed{\boxed{Y-Y_0=M\cdot \left(X-X_0\right)}}$}[/tex]

O primeiro passo é achar o ponto [tex]\left(X_0, Y_0\right)[/tex]. Perceba que  a questão nos da o [tex]x_0[/tex] mas não da o [tex]y_0[/tex], então temos que descobrir o seu valor

Como ja temos o [tex]x_0[/tex] basta substituirmos na função e acharemos o [tex]y_0[/tex]

[tex]Y=x^2\cdot \ln(x)\\\\Y=1^2\cdot \ln(1)\\\\Y=1\cdot 0\\\\\boxed{Y=0}[/tex]^

Agora que temos os pontos [tex]\left(X_0, Y_0\right)\Rightarrow (1,0)[/tex]  Basta acharmos o M que é o Coeficiente angular da reta

[tex]\boxed{M=F'(X_0)}[/tex]

Para acharmos o Coeficiente angular  da reta Vamos ter que derivar a função e  em seguida substituir X por [tex]x_0[/tex] para isso vamos relembrar algumas regras da derivação

• Regra do produto

        [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(F(x)\cdot G(x)\right)= \dfrac{dy}{dx}\left(F(x)\right)\cdot G(x)+ F(x)\cdot \dfrac{dy}{dx}\left(G(x))\right}[/tex]

• Derivada de um Logaritmo Natural.

        [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(ln(x)\right)= \dfrac{1}{x} }[/tex]

• Derivada de uma variável elevada a uma constante

        [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(X^C\right)=C\cdot X^{C-1} }[/tex]

        Com isso em mente vamos achar o Coeficiente angular da reta

[tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx}\left(x^2\cdot \ln(x)\right)\Rightarrow \dfrac{dy}{dx}\left(x^2\right)\cdot \ln(x)+x^2\cdot \dfrac{dy}{dx}\left(\ln(x)\right) \Rightarrow$}[/tex]



[tex]\large\text{$2x\cdot \ln(x)+x^2\cdot\dfrac{1}{x} \Rightarrow\boxed{2x\ln(x)+x}$}[/tex]

Substituindo X por  1 teremos o nosso coeficiente

[tex]2x\ln(x)+x\\\\2\cdot 1\cdot \ln(1)+1\\\\2\cdot 0+1\\\\\boxed{1}[/tex]

Então nosso coeficiente é 1   [tex]\boxed{M=1}[/tex]

Com isso vamos achar nossa equação da reta tangente

[tex]\large\text{$Y-Y_0=M\cdot \left(X-X_0\right)$}\\\\\\\large\text{$Y-0=1\cdot \left(X-1\right)$}\\\\\\\large\text{$\boxed{Y= X-1}$}[/tex]

Achamos nossa reta tangente a função