Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função  [tex]Y=\dfrac{ln(x)}{x^2+x+1}[/tex]  é

[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{\dfrac{x^2+x+1-(2x+1)\cdot ln(x)}{x\cdot (x^2+x+1)^2} }}$}[/tex]

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

[tex]Y=\dfrac{ln(x)}{x^2+x+1}[/tex]

Para derivarmos essa função precisamos lembrar de algumas regras da derivação

• Regra do quociente

    [tex]\boxed{\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'\cdot g-g'\cdot f}{g^2}}[/tex]

• Derivada do Logaritmo natural

      [tex]\boxed{Ln(x)'= \frac{1}{x} }[/tex]

• Derivada de uma constante elevada a uma variável qualquer [tex]\boxed{\dfrac{d}{dx}\left(X^N\right)=N\cdot X^{N-1}}[/tex]

Com isso em mente vamos resolver o problema. Aplicando a regra do quociente temos  [tex]\boxed{\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'\cdot g-g'\cdot f}{g^2}}[/tex]

[tex]\large\text{$\left(\dfrac{ln(x)}{x^2+x+1}\right)'\Rightarrow \dfrac{(\left ln(x) \right)'\cdot (x^2+x+1)-ln(x)\cdot \left(x^2+x+1\right)'}{(x^2+x+1)^2} \Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$ \dfrac{\dfrac{1}{x} \cdot (x^2+x+1)-ln(x)\cdot (2x+1)}{(x^2+x+1)^2}\Rightarrow \dfrac{ (x^2+x+1)-ln(x)\cdot (2x+1)}{x\cdot (x^2+x+1)^2} $}[/tex]

Assim concluirmos que a derivada da função [tex]Y=\dfrac{ln(x)}{x^2+x+1}[/tex] é

[tex]\large\text{$\boxed{\dfrac{ (x^2+x+1)-ln(x)\cdot (2x+1)}{x\cdot (x^2+x+1)^2} }$}[/tex]

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