Usando  a equação fundamental  da reta podemos concluir que a reta tangente a função [tex]Y=3Sen^2\left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)[/tex] no ponto [tex]X_0=\dfrac{\pi}{8}[/tex] é

[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{Y=3 }}$}[/tex]

Mas, como chegamos nessa conclusão?

Temos que encontrar a reta tangente da seguinte função

[tex]Y=3Sen^2\left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)[/tex]

Para encontrar a reta tangente usamos a equação fundamental da reta

• [tex]\large\text{$\boxed{\boxed{Y-Y_0=M\cdot \left(X-X_0\right)}}$}[/tex]

O primeiro passo é achar o ponto [tex]\left(X_0, Y_0\right)[/tex]. Perceba que  a questão nos da o [tex]x_0[/tex] mas não da o [tex]y_0[/tex], então temos que descobrir o seu valor

Como ja temos o [tex]x_0[/tex] basta substituirmos na função e acharemos o [tex]y_0[/tex]

[tex]Y=3Sen^2\left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)\\\\\\Y=3Sen^2\left(2\cdot \dfrac{\pi}{8} +\dfrac{\pi}{4} \right)\\\\\\Y=3Sen^2\left(\dfrac{\pi}{4} +\dfrac{\pi}{4} \right)\\\\\\Y=3Sen^2\left(\dfrac{2\pi}{4} \right)\\\\\\Y=3Sen^2\left(\dfrac{\pi}{2} \right)\\\\\\Y=3\cdot 1^2 \right)\\\\\\\boxed{Y=3}[/tex]

Agora que temos os pontos [tex]\left(X_0, Y_0\right)\Rightarrow \left(\dfrac{\pi}{8} ,3\right)[/tex]  Basta acharmos o M que é o Coeficiente angular da reta

[tex]\boxed{M=F'(X_0)}[/tex]

Para acharmos o Coeficiente angular  da reta Vamos ter que derivar a função e  em seguida substituir X por [tex]x_0[/tex] para isso vamos relembrar algumas regras da derivação

• Regra da cadeia

        [tex]\boxed{\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}=\dfrac{dy}{dx} }[/tex]

• Derivada do Seno  

        [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(Sen(x)\right)= Cos(x) }[/tex]

• Derivada de uma variável elevada a uma constante

        [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(X^C\right)=C\cdot X^{C-1} }[/tex]

Com isso vamos derivar a função

[tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx}\left(3Sen^2\left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)\right)\Rightarrow 3\dfrac{dy}{dx}\left(Sen^2\left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)\right)\Rightarrow$}\\\\\\[/tex]

[tex]\large\text{$3\dfrac{dy}{du}\left(U^2 \right)\cdot\dfrac{du}{dx}\left(Sen(2x+\dfrac{\pi}{x} \right) \Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$3\cdot 2U\cdot \dfrac{du}{dz}\left(Sen(z)\right)\cdot \dfrac{dz}{dx} \left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)\Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$3\cdot 2U\cdot Cos(z)\cdot 2\Rightarrow 3\cdot2(Sen\left(4x+\frac{\pi}{4}\right) )\cdot Cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)\cdot 2\Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$\boxed{12Sen\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)Cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)} $}[/tex]

Agora achamos a derivada basta substituir X por [tex]\dfrac{\pi}{8}[/tex] e teremos nossa coeficiente angular

[tex]\large\text{$12Sen\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)Cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$}\\\\\\\large\text{$12Sen\left(2\cdot \frac{\pi}{8} +\frac{\pi}{4}\right)Cos\left(2\cdot \frac{\pi}{8} +\frac{\pi}{4}\right)$}\\\\\\\large\text{$12Sen\left(\frac{\pi}{4} +\frac{\pi}{4}\right)Cos\left(\frac{\pi}{4} +\frac{\pi}{4}\right)$}\\\\\\\large\text{$12Sen\left(\frac{\pi}{2} )Cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$}\\\\\\\large\text{$12\cdot 1 \cdot 0$}\\\\\\\large\text{$0$}[/tex]

Ou seja [tex]M=0[/tex]

Substituindo na equação fundamental da reta temos

[tex]\large\text{$Y-Y_0=M\cdot \left(X-X_0\right)$}\\\\\\\large\text{$Y-3=0\cdot \left(X-\dfrac{\pi}{8} \right)$}\\\\\\\large\text{$Y-3=0$}\\\\\\\large\text{$\boxed{Y=3}$}[/tex]

Achamos nossa reta tangente