Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função[tex]Y=\dfrac{tg(x)-1}{Sec(x)}[/tex] é

[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{Cos(x)+Sen(x)}}$}[/tex]

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

[tex]Y=\dfrac{Tg(x)-1}{Sec(x)}[/tex]

Para achar a derivada dessa função temos que usar algumas

propriedades e regras da derivação

• Regra do quociente

       [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(\frac{F(x)}{G(x)} \right)= \dfrac{\dfrac{dy}{dx} (F(x)\cdot G(x)-F(x)\cdot \dfrac{dy}{dx} (G(x)}{G(x)^2} }[/tex]

• Derivada da Tg(x)

        [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}(Tg(x))= Sex^2(x)}[/tex]

• Derivada da Sec(x)

       [tex]\boxed{\frac{dy}{dx}\left(Sec \left(x\right)\right)=Sec \left(x\right)Tg \left(x\right)}[/tex]

Com isso em mente vamos resolver a derivada

[tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{Tg(x)-1}{Sec(x)} \right)\Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{\dfrac{dy}{dx}\left(Tg(x)-1\right)\cdot Sex(x)-(Tg(x)-1)\cdot \dfrac{dy}{dx}\left(Sec(x)\right) }{Sec^2(X)} \Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$\boxed{\dfrac{Sec^2(x)\cdot Sex(x)-(Tg(x)-1)\cdot \left(Sec(x)\cdot Tg(x)\right) }{Sec^2(X)}} $}[/tex]

Achamos a derivada, agora podemos simplificar por fatoração e propriedades trigonométricas

• [tex]\boxed{Sec^2(x)-Tg^2(x)=1}[/tex]

• [tex]\boxed{Sec(x)=\dfrac{1}{Cos(x)} }[/tex]

• [tex]\boxed{Tg(x)=\dfrac{Sen(x)}{Cos(x)} }[/tex]

Com isso em mente vamos  simplificar a expressão

[tex]\large\text{$\dfrac{Sec^2(x)\cdot Sec(x)-(Tg(x)-1)\cdot \left(Sec(x)\cdot Tg(x)\right) }{Sec^2(X)} $}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{Sec(x)\cdot \left(Sec^2(x)-(Tg(x)-1)\cdot Tg(x)\right) }{Sec^2(X)}\Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{ \left(Sec^2(x)-(Tg(x)-1)\cdot Tg(x)\right) }{Sec(x)}\Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{ \left(Sec^2(x)-(Tg^2(x)-Tg(x)\right) }{Sec(x)}\Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{ Sec^2(x)-Tg^2(x)+Tg(x) }{Sec(x)}\Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{ 1+Tg(x) }{Sec(x)}\Rightarrow $}[/tex]

Transformando Tg(x) e Sec(x) em seno e cosseno temos

[tex]\large\text{$\dfrac{ 1+\dfrac{Sen(x)}{Cos(x)} }{\dfrac{1}{Cos(x)} }\Rightarrow \dfrac{\dfrac{Cos(x)+Sen(x)}{Cos(x)} }{\dfrac{1}{Cos(x)} } \Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{Cos(x)+Sen(x)}{Cos(x)}\cdot \dfrac{Cos(x)}{1} \Rightarrow \dfrac{Cos(x)+Sen(x)}{1} \Rightarrow $}[/tex]

[tex]\boxed{Cos(x)+Sen(x)}[/tex]

Assim concluímos que a derivada da função é

[tex]\boxed{Cos(x)+Sen(x)}[/tex]

Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de derivadas de funções trigonométricas que  a derivada da função   [tex]\sf y=\dfrac{tg(x)-1}{sec(x)}[/tex]  é    [tex]\sf\dfrac{dy}{dx}=cos(x)+sen(x)[/tex] ✅

Regras básicas de derivação

• Derivada da constante

        [tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}(k)=0\end{array}}[/tex]

• Derivada da soma/ diferença

        [tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}[f(x)\pm g(x)]=\dfrac{d}{dx}f(x)\pm\dfrac{d}{dx}g(x)\end{array}}[/tex]

• Derivada do produto

        [tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}[f(x)\cdot g(x)]=\dfrac{d}{dx}[f(x)]\cdot g(x)+f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}[g(x)]\end{array}}[/tex]

• Derivada do quociente

        [tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}\bigg[\dfrac{f(x)}{g(x)}\bigg]=\dfrac{\dfrac{d}{dx}f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}g(x)}{g(x)^2}\end{array}}[/tex]

• Derivada da potência

        [tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\end{array}}[/tex]

Derivada de funções trigonométricas

• Derivada da função seno

        [tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}[sen(u)]=cos(u)\cdot\dfrac{du}{dx}\end{array}}[/tex]

• Derivada da função cosseno

        [tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}[cos(u)]=-sen(u)\cdot\dfrac{du}{dx}\end{array}}[/tex]

• Derivada da função tangente

        [tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}[tg(u)]=sec^2(u)\cdot\dfrac{du}{dx}\end{array}}[/tex]

• Derivada da função secante

        [tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}[sec(u)]=sec(u)\cdot tg(u)\cdot\dfrac{du}{dx}\end{array}}[/tex]

• Derivada da função cossecante

        [tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}[ csc(u)]=-csc(u)\cdot cotg(u)\cdot\dfrac{du}{dx}\end{array}}[/tex]

• Derivada da função cotangente

        [tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}[cotg(u)]=-csc^2(u)\cdot\dfrac{du}{dx}\end{array}}[/tex]

✍️Vamos a resolução da questão

Aqui iremos reescrever a função de outra maneira para calcular a derivada

[tex]\large\boxed{\begin{array}{l}\sf y=\dfrac{tg(x)-1}{sec(x)}\\\\\sf y=\dfrac{tg(x)}{sec(x)}-\dfrac{1}{sec(x)}\\\\\sf y=\dfrac{\dfrac{sen(x)}{\diagup\!\!\!\!\!\!cos(x)}}{\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\!\!\!cos(x)}}-\dfrac{1}{\dfrac{1}{cos(x)}}\\\\\sf y=sen(x)-cos(x)\\\sf\dfrac{dy}{dx}=cos(x)-[-sen(x)]\\\\\sf\dfrac{dy}{dx}=cos(x)+sen(x)\end{array}}[/tex]

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