Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função [tex]Y=ln(x)\cdot log(x)-ln(a)\cdot log_a(x)[/tex] é

[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{\dfrac{2Ln(x)-Ln(10)}{xLn(10)}}}$}[/tex]

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

[tex]Y=ln(x)\cdot log(x)-ln(a)\cdot log_a(x)[/tex]

Para resolver essa questão precisamos relembrar algumas propriedades da derivação

• Derivadas de expressões se somando ou subtraindo

         [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(F(x)\pm G(x)\right)= \dfrac{dy}{dx}\left(F(x)\right)\pm\dfrac{dy}{dx}\left(G(x))\right}[/tex]

• Derivada do produto

          [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(F(x)\cdot G(x)\right)= \dfrac{dy}{dx}\left(F(x)\right)\cdot G(x)+ F(x)\cdot \dfrac{dy}{dx}\left(G(x))\right}[/tex]

• Derivada de um Logaritmo Natural

          [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(ln(x)\right)= \dfrac{1}{x} }[/tex]

• Derivada de um logaritmo com logaritmando variável

        [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(Log_a(x)\right)=\dfrac{1}{x\ln \left(a\right)} }[/tex]

Antes de derivarmos a função vamos ver se podemos simplificar a função de modo que facilite nossos cálculos

Perceba que podemos usar a propriedade do logaritmo [tex]\boxed{Ln(a)\cdot Log_a(b)= Ln(b)}[/tex] para simplificar nossa função

[tex]Ln(x)\cdot log_{10}(x)-Ln(a)\cdot log_a(x)\Rightarrow \boxed{Ln(x)\cdot log_{10}(x)-Ln(x)}[/tex]

Com isso em mente vamos  derivar.

( Lembre-se que quando um Log aparece sem base quer dizer que sua base é 10)

[tex]\dfrac{dy}{dx}\left(Ln(x)\cdot Log_{10}(x)-Ln(x)\right)\Rightarrow\dfrac{dy}{dx}\left(Ln(x)\cdot Log_{10}(x)\right)-\dfrac{dy}{dx}(Ln(x))[/tex]

Aplicando a regra do produto e a derivada do Logaritmo natural, temos:

[tex]\left(\dfrac{dy}{dx}\left(Ln(x)\right)\cdot Log_{10}(x)+Ln(x)\cdot \dfrac{dy}{dx}\left(Log_{10}(a)\right)\right) -\dfrac{dy}{dx}(Ln(x))\Rightarrow[/tex]

[tex]\boxed{\left(\dfrac{1}{x} \cdot Log_{10}(x)+ Ln(x)\cdot \dfrac{1}{xLn \left(10\right)}\right)- \dfrac{1}{x}}[/tex]

Achamos nossa derivada, agora podemos deixar essa expressão mais simplificada

[tex]\left(\dfrac{1}{x} \cdot Log_{10}(x)+ Ln(x)\cdot \dfrac{1}{xLn \left(10\right)}\right)- \dfrac{1}{x}\Rightarrow[/tex]

[tex]\left(\dfrac{Log_{10}(x)}{x} + \dfrac{Ln(x)}{xLn \left(10\right)}\right)- \dfrac{1}{x}\Rightarrow\dfrac{Log_{10}(x)}{x} + \dfrac{Ln(x)}{xLn \left(10\right)}- \dfrac{1}{x}\Rightarrow[/tex]

[tex]\dfrac{Ln(x)+Ln(x)-Ln(10)}{xLn(10)}\Rightarrow \boxed{\dfrac{2Ln(x)-Ln(10)}{xLn(10)}}[/tex]

Assim concluímos que a derivada da função é  [tex]\boxed{\dfrac{2Ln(x)-Ln(10)}{xLn(10)}}[/tex]