Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função [tex]Y=\dfrac{a}{\sqrt[3]{x^2} } -\dfrac{b}{x\sqrt[3]{x} }[/tex] é

[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{-\dfrac{2a}{3x^{\frac{5}{3}}}+\dfrac{4b}{3x^{\frac{7}{3}}}}}$}[/tex]

Mas, Como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

[tex]Y=\dfrac{a}{\sqrt[3]{x^2} } -\dfrac{b}{x\sqrt[3]{x} }[/tex]

Antes de começarmos vamos simplificar nossa função, transformando raiz em expoente fracionário para simplificar os cálculos

• Raiz em expoente fracionário

     [tex]\large\text{$\boxed{\sqrt[a]{x^b}=x^{\frac{a}{b} } }$}[/tex]

• Multiplicação de potencias da mesma base

         [tex]\large\text{$\boxed{X^A+X^B=X^{A+B} }$}[/tex]

• Denominador virando numerador com expoente negativo

         [tex]\large\text{$\boxed{\dfrac{1}{X^{N}} =X^{-N}}$}[/tex]

Com isso em mente. Vamos lá

[tex]\Large\text{$\dfrac{a}{\sqrt[3]{x^2} } -\dfrac{b}{x\sqrt[3]{x} }\Rightarrow \dfrac{a}{x^{\frac{2}{3} } } -\dfrac{b}{x\cdot x^{\frac{1}{3} }}\Rightarrow\boxed{\dfrac{a}{x^{\frac{2}{3} } } -\dfrac{b}{ x^{\frac{4}{3} }}}$}[/tex]

Agora que simplificamos a nossa função vamos achar sua derivada usando as propriedades da potencia

• Derivada de uma variável elevada a uma constante

        [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(X^C\right)=C\cdot X^{C-1} }[/tex]

• Derivada de uma Constante multiplicando a variável

        [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(C\cdot X\right)=C\cdot\dfrac{dy}{dx}\left(X\right) }[/tex]  

Vamos lá

[tex]\Large\text{$\dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{a}{x^{\frac{2}{3} } } -\dfrac{b}{ x^{\frac{4}{3} }}\right)\Rightarrow\dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{a}{x^{\frac{2}{3} } } \right)-\dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{b}{x^{\frac{4}{3} } } \right)\Rightarrow $}[/tex]

[tex]\Large\text{$a\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{1}{x^{\frac{2}{3} } } \right)-b\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{b}{x^{\frac{4}{3} } } \right)\Rightarrow $}[/tex]

[tex]\Large\text{$a\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(x^{-\frac{2}{3} }\right)-b\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(x^{-\frac{4}{3} } \right)\Rightarrow $}[/tex]

Aplicando  a Derivada de uma Constante multiplicando a variável

[tex]\Large\text{$a\cdot \left(-\frac{2}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}-1 }\right)-b\cdot \left(-\dfrac{4}{3}\cdot x^{-\frac{4}{3} -1} \right)\Rightarrow $}[/tex]

[tex]\Large\text{$a\cdot \left(-\dfrac{2}{3}\cdot x^{-\frac{5}{3} }\right)-b\cdot \left(-\dfrac{4}{3}\cdot x^{-\frac{7}{3} } \right)\Rightarrow $}[/tex]

Aplicando as propriedades da potencia

[tex]\Large\text{$a\cdot \left(-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{x^{\frac{5}{3} }} \right)-b\cdot \left(-\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{1}{ x^{\frac{7}{3} }} \right)\Rightarrow $}[/tex]

[tex]\Large\text{$a\cdot \left( - \dfrac{2}{3x^{\frac{5}{3} }} \right)-b\cdot \left( -\dfrac{4}{ 3x^{\frac{7}{3} }} \right)\Rightarrow $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \boxed{- \dfrac{2a}{3x^{\frac{5}{3} }}+ \dfrac{4b}{ 3x^{\frac{7}{3} }} } $}[/tex]

Assim concluirmos que a derivada da função é

[tex]\Large\text{$ \boxed{- \dfrac{2a}{3x^{\frac{5}{3} }}+ \dfrac{4b}{ 3x^{\frac{7}{3} }} } $}[/tex]