Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função [tex]Y=Log_{x^2}(4)+Log_{-x}(2)[/tex] é

[tex]\large\text{$\boxed{\boxed{-\dfrac{4Ln(2)}{xLn^2(x^2)} - \dfrac{Ln(2)}{ xLn^2(-x)}\right)}}$}[/tex]

Mas, Como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

[tex]\large\text{$Y=Log_{x^2}(4)+Log_{-x}(2)$}[/tex]

Para conseguirmos derivar essa função temos que usar uma propriedade do Logaritmo

[tex]\large\text{$\boxed{Log_a(b)= \dfrac{Ln(b)}{Ln(a)}} $}[/tex]

Então vamos reescrever a nossa função

[tex]\large\text{$Y=Log_{x^2}(4)+Log_{-x}(2)\Rightarrow \boxed{Y=\dfrac{Ln(4)}{Ln(x^2)}+\dfrac{Ln(2)}{Ln(-x)}} $}[/tex]

Agora antes de começarmos a derivar vamos lembrar de algumas propriedades da derivação

• Soma em derivadas

         [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(F(x)+G(x)\right)= \dfrac{dy}{dx}\left(F(x)\right)+\dfrac{dy}{dx}\left(G(x)\right)}[/tex]

• Constante multiplicando uma Variável

         [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(C\cdot X\right)=C\cdot \dfrac{dy}{dx}(X)}[/tex]

• Derivada de uma variável elevada a uma constante

         [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(X^C\right)=C\cdot X^{C-1}}[/tex]

• Derivada do LN

      [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(Ln(x)\right)=\dfrac{1}{x} }[/tex]

• Regra da cadeia

       [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx} (F(G(X)))'=F'(G(x)\cdotG'(x)}[/tex]

• Regra do quociente

         [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(\frac{F(x)}{G(x)} \right)= \dfrac{\dfrac{dy}{dx} (F(x)\cdot G(x)-F(x)\cdot \dfrac{dy}{dx} (G(x)}{G(x)^2} }[/tex]

Com isso em mente vamos derivar a função

[tex]\large\text{$ \dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{Ln(4)}{Ln(x^2)}+\dfrac{Ln(2)}{Ln(-x)}\right)\Rightarrow\dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{Ln(4)}{Ln(x^2)}\right)+ \dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{Ln(2)}{Ln(-x)}\right)\Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$ Ln(4)\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{1}{Ln(x^2)}\right)+ \left(Ln(2)\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{1}{Ln(-x)}\right)\right)\Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$ \boxed{Ln(4)\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(Ln^{-1}(x^2)\right)+ \left(Ln(2)\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(Ln^{-1}(-x)\right)\right)}$}[/tex]

Temos que resolver essas duas derivadas, para isso utilizaremos a regra da cadeia. Perceba que teremos que usar duas vezes a regra da cadeia

Vamos resolve-las separadamente

[tex]U=Ln(x^2) ~~ Y=x^2[/tex]

 [tex]\large\text{$ \dfrac{dy}{dx} \left(Ln^{-1}(x^2)\right)\Rightarrow \dfrac{dy}{du}(U^{-1})\cdot \dfrac{du}{dx}(Ln(x^2) \Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$ -1U^{-2} \cdot \dfrac{du}{dy}(Ln(y)\cdot \dfrac{\\dy}{dx}(x^2) \Rightarrow-1U^{-2} \cdot \dfrac{1}{Y} \cdot 2x\Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$-1\cdot (Ln(x^2)^{-2}\cdot\dfrac{1}{x^2} \cdot 2x\Rightarrow \dfrac{-2x}{x^2\cdot Ln(x^2)^2}\Rightarrow \dfrac{-2x}{x^2\cdot Ln^2(x)^2}\Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$ -\dfrac{2}{x\cdot Ln^2(x^2)}\Rightarrow \boxed{-\dfrac{2}{xLn^2(x^2)} } $}[/tex]

Agora vamos achar a outra derivada

[tex]U=Ln(-x) ~~ Y=-x[/tex]

[tex]\large\text{$ \dfrac{dy}{dx} \left(Ln^{-1}(-x)\right)\Rightarrow \dfrac{dy}{du}(U^{-1})\cdot \dfrac{du}{dx}Ln(-x) \Rightarrow$}[/tex]

[tex]\large\text{$ -1U^{-2} \cdot \dfrac{du}{dy}(Ln(y)\cdot \dfrac{\\dy}{dx}(-x) \Rightarrow-1U^{-2} \cdot \dfrac{1}{Y} \cdot -1\Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$-1\cdot (Ln(-x)^{-2}\cdot\dfrac{1}{-x} \cdot -1\Rightarrow \boxed{\dfrac{-1}{ xLn^2(-x)}}$}[/tex]

Substituindo na  nossa expressão temos

[tex]\large\text{$ Ln(4)\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(Ln^{-1}(x^2)\right)+ \left(Ln(2)\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(Ln^{-1}(-x)\right)\right)$}[/tex]

[tex]\large\text{$ Ln(4)\cdot -\dfrac{2}{xLn^2(x^2)} + \left(Ln(2)\cdot \dfrac{-1}{ xLn^2(-x)}\right)\Rightarrow $}[/tex]

[tex]\large\text{$ -\dfrac{2Ln(2)\cdot 2}{xLn^2(x)} - \dfrac{Ln(2)}{ xLn^2(-x)}\right)\Rightarrow \boxed{-\dfrac{4Ln(2)}{xLn^2(x^2)} - \dfrac{Ln(2)}{ xLn^2(-x)}\right)} $}[/tex]

Portanto a derivada da função é [tex]-\dfrac{4Ln(2)}{xLn^2(x^2)} - \dfrac{Ln(2)}{ xLn^2(-x)}\right)[/tex]