Resposta:

O conjunto solução é S = {x € |R/ x = 2 ou x = 3 ou x = 4 ou x = 6}.

Explicação passo a passo:

RESOLUÇÃO:

[tex](x-3)^{6}-(3-x)^{x}=0\\(x-3)^{6}=0+(3-x)^{x}\\(x-3)^{6}=(3-x)^{x}\\(-1\times(3-x))^{6}=(3-x)^{x}\\(-1)^{6}\times(3-x)^{6}=(3-x)^{x}\\1\times(3-x)^{6}=(3-x)^{x}\\(3-x)^{6}=(3-x)^{x}\\6=x[/tex]

Fazendo-se (3 - x) = a, teremos outras soluções para a incógnita "x".

Vejamos:

• 3 - x = a => 3 - a = 0 + x => 3 - a = x

[tex](x-3)^{6} - (3-x)^{x} = 0\\(-a)^{6}-(a)^{3-a}=0\\(-a)^{6}=(a)^{3-a}\\para:a=1\\(-1)^{6}=(1)^{3-1}\\(-1)^{6}=(1)^{2}\\1=1[/tex]

Portanto, para a = 1, teremos 3 - 1 = x => 2 = x

• 3 - x = a => 3 - a = 0 + x => 3 - a = x

[tex](x-3)^{6} - (3-x)^{x} = 0\\(-a)^{6}-(a)^{3-a}=0\\(-a)^{6}=(a)^{3-a}\\para:a=0\\(-0)^{6}=(0)^{3-0}\\(0)^{6}=(0)^{3}\\0=0[/tex]

Portanto, para a = 0, teremos 3 - 0 = x => 3 = x

• 3 - x = a => 3 - a = 0 + x => 3 - a = x

[tex](x-3)^{6} - (3-x)^{x} = 0\\(-a)^{6}-(a)^{3-a}=0\\(-a)^{6}=(a)^{3-a}\\para:a=-1\\(-(-1))^{6}=(-1)^{3-(-1)}\\(1)^{6}=(-1)^{3+1}\\(1)^{6}=(-1)^{4}\\1=1[/tex]

Portanto, para a = -1, teremos: 3 - (-1) = x => 3 + 1 = x => 4 = x

CONJUNTO SOLUÇÃO: S = {x € |R/ x = 2 ou x = 3 ou x = 4 ou x = 6}.

Resposta:

Estabeleçamos, inicialmente, o domínio de validade da equação.

A expressão [tex]\left(x-3\right)^6[/tex] tem significado em [tex]\mathbb{R}[/tex] para todo [tex]x \in \mathbb{R}.[/tex]

Por sua vez, a potência [tex]\left(3-x\right)^x[/tex] só tem significado em [tex]\mathbb{R}[/tex] quando sua base é estritamente positiva:

[tex]3 - x > 0 \Longleftrightarrow x < 3,[/tex]

ou quando sua base é nula e seu expoente é estritamente positivo:

[tex]3-x = 0 \,\,\, \land \,\,\, x > 0 \Longleftrightarrow x = 3,[/tex]

ou, por fim, quando sua base é negativa e seu expoente é um número inteiro:

[tex]3-x < 0 \,\,\,\land \,\,\, x \in \mathbb{Z} \Longleftrightarrow x \in \mathbb{Z}\, | \, x > 3.[/tex]

Em resumo:

[tex]D_v = \left\{x \in \mathbb{R} \, | \, x \leq 3 \right\} \cup \left\{x \in \mathbb{Z} \, | \, x > 3\right\}.[/tex]

Considerando-se [tex]x \in D_v,[/tex] temos:

[tex]\left(x-3\right)^6 - \left(3-x\right)^x = 0\\\\\\\Longleftrightarrow \left(3-x\right)^x = \left(x-3\right)^6\\\\\\\Longleftrightarrow \left(3-x\right)^x = \left[-1 \cdot \left(3-x\right) \right]^6\\\\\\\Longleftrightarrow \left(3-x\right)^x = \left(-1\right)^6 \cdot \left(3-x\right)^6\\\\\\\Longleftrightarrow \left(3-x\right)^x = \left(3-x\right)^6[/tex]

Analisemos cinco possibilidades para a expressão [tex]3-x:[/tex]

[tex]i) \,\,\,\,\, 3-x > 0\,\,\, \land\,\,\, 3-x \neq 1 \\\\\Longleftrightarrow x < 3 \,\,\, \land \,\,\,x \neq 2[/tex]

Uma vez que a função exponencial [tex]f[/tex] de [tex]\mathbb{R}[/tex] em [tex]\mathbb{R}[/tex] definida por [tex]f(x) = a^x, \forall\, a \in \mathbb{R}_+ \setminus \left\{1\right\}[/tex], é injetora, temos:

[tex]\left(3-x\right)^x = \left(3-x\right)^6\\\\\Longrightarrow x = 6[/tex](não convém).

[tex]ii) \,\,\,\,\, 3-x = 1 \\\\\Longleftrightarrow x = 2[/tex]

Considerando que [tex]1^\alpha = 1, \forall \, \alpha \in \mathbb{R},[/tex] temos:

[tex]1^2 = 1^6.[/tex]

Logo, [tex]2[/tex] é solução da equação.

[tex]iii)\,\,\,\,\,3-x = 0\\\\ \Longleftrightarrow x = 3[/tex]

Como [tex]0^\alpha = 0, \forall \, \alpha \in \mathbb{R}^*_+,[/tex] temos:

[tex]0^3 = 0^6.[/tex]

Assim, [tex]3[/tex] é solução da equação.

[tex]iv)\,\,\,\,\,3-x = -1\\\\ \Longleftrightarrow x = 4[/tex]

Lembremos que [tex]\left(-1\right)^\alpha[/tex] só está definido em [tex]\mathbb{R}[/tex] para [tex]\alpha[/tex] inteiro, e que a função aritmética de [tex]\mathbb{Z}[/tex] em [tex]\mathbb{R}[/tex] definida por [tex]f(x) = \left(-1\right)^x[/tex] tem como imagem [tex]\left\{-1,1\right\}[/tex], uma vez que:

[tex]\left(-1\right)^n = 1\,\,\,para\,\,\, n = 2k, k \in \mathbb{Z};\\\\\left(-1\right)^n = -1\,\,\, para\,\,\, n = 2k-1, k \in \mathbb{Z}.[/tex]

Assim, [tex]\left(-1\right)^4 = \left(-1\right)^6.[/tex]

Portanto, [tex]4[/tex] também é solução da equação.

[tex]v)\,\,\,\,\, 3-x < 0 \,\,\, \land \,\,\, 3-x \neq -1\\\\\Longleftrightarrow x > 3 \,\,\, \land \,\,\, x \neq 4[/tex]

Uma vez que a função [tex]f[/tex] de [tex]\mathbb{Z}_+[/tex] em [tex]\mathbb{R}[/tex] definida por [tex]f(x) = a^x[/tex], onde [tex]a \in \mathbb{Z}_- \setminus \left\{-1\right\},[/tex] é injetora, temos:

[tex]\left(3-x\right)^6 = \left(3-x\right)^x\\\\\Longrightarrow x = 6[/tex]

Logo, [tex]6[/tex] também é solução da equação.

Assim, esgotando-se todas as possibilidades para [tex]x[/tex] em [tex]D_v,[/tex] concluímos que o conjunto solução da equação dada, em [tex]\mathbb{R}[/tex], é o seguinte:

[tex]S = \left\{2,3,4,6\right\}.[/tex]