Verified answer

Deseja-se demonstrar a seguinte proposição:

[tex]p: \forall \, n \in \mathbb{N}, \dfrac{tg\left(2^nx\right)}{\prod\limits_{k=1}^n \left[sec\left(2^kx\right)+1\right]} = tg\left(x\right)[/tex]

onde [tex]x \in \left\{t \in \mathbb{R} \, | \, cos\left(2^kt\right) \neq 0 , \neq -1, k \in \left\{0, 1, ..., n\right\} \rihgt\}.[/tex]

Utilizaremos as seguintes identidades trigonométricas:

[tex]tg\left(2x\right) = \dfrac{2tg\left(x\right)}{1 - tg^2\left(x\right)}[/tex]

e

[tex]sec\left(2x\right) = \dfrac{1+tg^2\left(x\right)}{1-tg^2\left(x\right)}[/tex]

para todo [tex]x[/tex] pertencente ao domínio de validade acima definido.

Façamos a demonstração por indução sobre n.

Inicialmente, verifiquemos que a igualdade é verdadeira para n = 1.

Temos:

[tex]\dfrac{tg\left(2^1x\right)}{\prod\limits_{k=1}^{1} \left[sec\left(2^kx\right)+1\right]} \\\\\\=\dfrac{tg\left(2x\right)}{sec\left(2x\right)+1} \\\\\\= \dfrac{\dfrac{2tg\left(x\right)}{1 - tg^2\left(x\right)}}{\dfrac{1+tg^2\left(x\right)}{1-tg^2\left(x\right)}+1} \\\\\\= \dfrac{\dfrac{2tg\left(x\right)}{1-tg^2\left(x\right)}}{\dfrac{1+tg^2\left(x\right)+1-tg^2\left(x\right)}{1-tg^2\left(x\right)}} \\\\\\= \dfrac{2tg\left(x\right)}{2} \\\\\\= tg\left(x\right)[/tex]

Assim, [tex]p(1)[/tex] é verdadeira.

Em seguida, admitamos, por hipótese, que a igualdade seja verdadeira para algum [tex]q[/tex] inteiro genérico, [tex]q \geq 1:[/tex]

[tex]\dfrac{tg\left(2^qx\right)}{\left[sec\left(2x\right)+1\right] \cdot \left[sec\left(2^2x\right)+1\right] \cdot ... \cdot \left[sec\left(2^qx\right)+1\right]} = tg\left(x\right)[/tex]

Para [tex]n = q + 1,[/tex] temos:

[tex]\dfrac{tg\left(2^{q+1}x\right)}{\prod\limits_{k=1}^{q+1}\left[sec\left(2^kx\right) + 1\right]} =\\\\\\= \dfrac{tg\left(2 \cdot 2^qx\right)}{\left[sec\left(2x\right)+1\right] \cdot \left[sec\left(2^2x\right)+1\right] \cdot ... \cdot \left[sec\left(2^qx\right)+1\right] \cdot \left[sec\left(2^{q+1}x\right)+1\right]}\\\\\\[/tex]

[tex]= \dfrac{\dfrac{2tg\left(2^qx\right)}{1 - tg^2\left(2^qx\right)}}{\left[sec\left(2x\right)+1\right] \cdot \left[sec\left(2^2x\right)+1\right] \cdot ... \cdot \left[sec\left(2^qx\right)+1\right] \cdot \left[sec\left(2^{q+1}x\right)+1\right]}\\\\\\[/tex]

[tex]= \dfrac{\dfrac{2}{1-tg^2\left(2^qx\right)}\cdot tg\left(2^qx\right)}{\left[sec\left(2x\right)+1\right] \cdot \left[sec\left(2^2x\right)+1\right] \cdot ... \cdot \left[sec\left(2^qx\right)+1\right] \cdot \left[sec\left(2^{q+1}x\right)+1\right]}\\\\\\[/tex]

[tex]= \dfrac{\dfrac{2}{1-tg^2\left(2^qx\right)}}{sec\left(2^{q+1}x\right)+1} \cdot \dfrac{tg\left(2^qx\right)}{\left[sec\left(2x\right)+1\right] \cdot \left[sec\left(2^2x\right)+1\right] \cdot ... \cdot \left[sec\left(2^qx\right)+1\right]}\\\\\\[/tex]

[tex]= \dfrac{\dfrac{2}{1-tg^2\left(2^qx\right)}}{\dfrac{1+tg^2\left(2^qx\right)}{1-tg^2\left(2^qx\right)}+1} \cdot \dfrac{tg\left(2^qx\right)}{\left[sec\left(2x\right)+1\right] \cdot \left[sec\left(2^2x\right)+1\right] \cdot ... \cdot \left[sec\left(2^qx\right)+1\right]}\\\\\\\\[/tex]

[tex]= \dfrac{\dfrac{2}{1-tg^2\left(2^qx\right)}}{\dfrac{1+tg^2\left(2^qx\right)+1 - tg^2\left(2^qx\right)}{1-tg^2\left(2^qx\right)}} \cdot \dfrac{tg\left(2^qx\right)}{\left[sec\left(2x\right)+1\right] \cdot \left[sec\left(2^2x\right)+1\right] \cdot ... \cdot \left[sec\left(2^qx\right)+1\right]}\\\\\\\\[/tex]

[tex]= \dfrac{2}{2} \cdot \left\{\dfrac{tg\left(2^qx\right)}{\left[sec\left(2x\right)+1\right] \cdot \left[sec\left(2^2x\right)+1\right] \cdot ... \cdot \left[sec\left(2^qx\right)+1\right]}\right\}\\\\\\\\[/tex]

(Notemos que a expressão entre chaves é igual a [tex]tg\left(x\right)[/tex] – hipótese de indução.)

[tex]= 1 \cdot tg\left(x\right)\\\\\\= tg\left(x\right)[/tex]

Assim, [tex]\forall\, q \in \mathbb{Z}, q \geq 1,[/tex] temos:

[tex]p\left(q\right) \Longrightarrow p\left(q+1\right)[/tex]

Portanto, para todo [tex]n \in \mathbb{N},[/tex] [tex]p\left(n\right)[/tex] é verdadeira,

Q.E.D.