Resposta:

Para provar que os únicos subconjuntos de um espaço topológico X que são simultaneamente abertos e fechados são o conjunto vazio e X, podemos usar o seguinte raciocínio:

Suponha que exista um subconjunto A de X que é simultaneamente aberto e fechado, e que A não é igual a X nem ao conjunto vazio. Como A é aberto, existe um conjunto aberto B de X tal que B intersectado com A é igual a A. Como A é fechado, o complemento de A em X (X \ A) é também aberto. Assim, existe um conjunto aberto C de X tal que C intersectado com (X \ A) é igual a (X \ A).

Agora, considere o conjunto D = B intersectado com C. Como B intersectado com A é igual a A, temos que D intersectado com A é igual a A. Além disso, temos que D intersectado com (X \ A) é igual a (X \ A). Como A e X \ A são os únicos subconjuntos de X que cobrem todo o espaço X, isso implica que D é vazio, caso contrário, teríamos uma contradição.

Mas se D é vazio, então A é igual a (X \ A), o que significa que A é o conjunto vazio, o que é uma contradição. Portanto, concluímos que não pode existir um subconjunto não trivial de X que seja simultaneamente aberto e fechado. Logo, os únicos subconjuntos de X que são simultaneamente abertos e fechados são o conjunto vazio e X.

Explicação passo a passo: