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Raiz quadrada de um número real

[Definição] Seja a um número real não-negativo. Dizemos que o número real b é raiz quadrada de a, se e somente se

     b ≥ 0   e   b² = a.

Usamos a notação b = √a para indicar que b é raiz quadrada de a.

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Algumas proposições e demonstrações

[Proposição 1] Sejam a, b reais não-negativos. Então a² = b² se e somente se a = b.

     [Demonstração]

     (⟸)   Se a = b, segue diretamente que a² = b².

     (⟹)   Por outro lado, se a² = b², então

     ⟹   a² − b² = 0

     ⟹   (a − b)(a + b) = 0

     ⟹   a − b = 0   ou   a + b = 0

Analisemos os casos possíveis:

• Caso 1:  a − b = 0.

Segue diretamente que

     ⟹   a = b.

• Caso 2:  a + b = 0.

Como a, b são não-negativos, a única possibilidade para este caso é a = b = 0. Então, em particular, temos a = b.

Portanto, em qualquer dos casos, concluímos que a = b.     □

Obs.: A proposição 1 evidencia a injetividade da função quadrática f(x) = x² sobre os reais não-negativos.

[Corolário 1.1] A raiz quadrada de um número real não-negativo é única.

     [Demonstração] Seja a um número real não-negativo. Se c e d são raízes quadradas de a, então, por definição, temos

     c ≥ 0   e   c² = a

     d ≥ 0   e   d² = a.

Portanto, segue que

     ⟹   c² = a = d²

     ⟹   c² = d²

Pela proposição 1, podemos concluir

     ⟹   c = d.

Logo, a raiz quadrada de um número real não-negativo é única.     □

Obs.: Este corolário nos fornece base para utilizarmos o símbolo √ como referência à raiz quadrada de um número real não-negativo, sem haver risco de ambiguidades.

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[Proposição 2] Sejam a, b números reais não-negativos. Então a² < b² se e somente se a < b.

     [Demonstração]

     (⟸)   Se a < b, multiplicando ambos os membros por a ≥ 0, a desigualdade não-estrita é mantida:

     a < b

     ⟹   a · a ≤ a · b

     ⟹   a² ≤ ab

Além disso, se a < b, multiplicando também ambos os membros por b ≥ 0, a desigualdade não-estrita é mantida:

     a < b

     ⟹   a · b ≤ b · b

     ⟹   ab ≤ b²

Logo, pela transitividade da relação ≤, temos

     ⟹   a² ≤ ab ≤ b²

     ⟹   a² ≤ b²

     ⟹   a² = b²   ou   a² < b²

Descartamos a possibilidade a² = b², pois, por hipótese, temos a < b, portanto a ≠ b. Logo, pela proposição 1, segue que a² ≠ b².

Então, a outra possibilidade deve ser verdadeira, isto é,

     ⟹   a² < b².

     (⟹)   Por outro lado, se a² < b², então

     ⟹   a² − b² < 0

     ⟹   (a − b)(a + b) < 0

Um produto de dois números reais é menor que zero somente se os sinais dos fatores forem opostos. Temos as seguintes possibilidades:

• Caso 1:  a − b > 0   e   a + b < 0.

Por hipótese, a ≥ 0 e b ≥ 0. Portanto, a + b ≥ 0. Logo, o caso 1 é um absurdo, pois contradiz a + b ≥ 0.

Logo, deve valer o caso seguinte:

• Caso 2:   a − b < 0   e   a + b > 0.

     ⟹   a − b < 0

     ⟹   a < b.

Portanto, a < b.     □

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[Proposição 3] Sejam a, b números reais não-negativos. Então √a < √b se e somente se a < b.

     [Demonstração] Sejam c = √a e d = √b. Por definição de raiz quadrada, temos

     c ≥ 0   e   c² = a

     d ≥ 0   e   d² = b.

     (⟹)   Suponha que √a < √b:

     ⟹   c < d

pela proposição 2, segue que

     ⟹   c² < d²

     ⟹   a < b.

     (⟸)   Por outro lado, suponha que a < b:

     ⟹   c² < d²

Novamente, pela proposição 2, segue que

     ⟹   c < d

     ⟹   √a < √b

Portanto, √a < √b se e somente se a < b.     □

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Conclusão

Reunindo os resultados das proposições 2 e 3, concluímos que, dados a, b reais não-negativos

     √a < √b   ⟺   a < b   ⟺   a² < b²     ■

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Bons estudos! :-) [tex]\,[/tex]